Номер 351, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

351.1) $5^{\sin x} \ge \frac{1}{5};$

2) $7^{\cos x} < \frac{1}{7};$

3) $4^{\sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)} < \frac{1}{4};$

4) $6^{\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} \ge \left(\sqrt{6}\right)^{\sqrt{3}}.$

1)

Дано:

$5^{\sin x} \ge \frac{1}{5}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Исходное неравенство принимает вид: $5^{\sin x} \ge 5^{-1}$.

Так как основание степени $5 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$\sin x \ge -1$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Неравенство $\sin x \ge -1$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

2)

Дано:

$7^{\cos x} < \frac{1}{7}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 7: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $7^{\cos x} < 7^{-1}$.

Так как основание степени $7 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Переходя к неравенству для показателей, сохраняем знак:

$\cos x < -1$.

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Не существует таких значений $x$, при которых $\cos x$ был бы меньше -1.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

3)

Дано:

$4^{\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4})} < \frac{1}{4}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 4: $\frac{1}{4} = 4^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $4^{\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4})} < 4^{-1}$.

Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4}) < -1$.

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) < -\frac{1}{\sqrt{2}}$ или $\cos(x + \frac{\pi}{4}) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Введем замену: $t = x + \frac{\pi}{4}$. Получаем неравенство $\cos t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства на единичной окружности является дуга, концы которой соответствуют углам $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{4}$.

Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

$\frac{2\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{4} + 2\pi n$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано:

$6^{\sin(x - \frac{\pi}{4})} \ge (\sqrt{6})^{\sqrt{3}}$

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие неравенству.

Решение:

Преобразуем правую часть неравенства:

$(\sqrt{6})^{\sqrt{3}} = (6^{\frac{1}{2}})^{\sqrt{3}} = 6^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Исходное неравенство принимает вид: $6^{\sin(x - \frac{\pi}{4})} \ge 6^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, переходя к неравенству для показателей, сохраняем знак:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Введем замену: $t = x - \frac{\pi}{4}$. Получаем неравенство $\sin t \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства на единичной окружности является дуга, концы которой соответствуют углам $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям неравенства:

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4\pi + 3\pi}{12} + 2\pi n \le x \le \frac{8\pi + 3\pi}{12} + 2\pi n$.

$\frac{7\pi}{12} + 2\pi n \le x \le \frac{11\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{7\pi}{12} + 2\pi n, \frac{11\pi}{12} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.