Номер 356, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

356.

1) $\log_{2.7}(x - 2) + \log_{2.7} x > \log_{2.7}(x + 4);$

2) $\log_{\frac{1}{4}} x + \log_{\frac{1}{4}}(x - 6) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8);$

3) $\log_{2}(x - 1) + \log_{2} x \le 1;$

4) $\log_{3} x + \log_{3}(x - 8) \ge 2.$

1) $\log_{2,7}(x - 2) + \log_{2,7} x > \log_{2,7}(x + 4)$

Решение

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \\ x > -4 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_{2,7}((x - 2)x) > \log_{2,7}(x + 4)$

Основание логарифма $2,7 > 1$, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$(x - 2)x > x + 4$

$x^2 - 2x > x + 4$

$x^2 - 3x - 4 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 3x - 4 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in ((-\infty, -1) \cup (4, +\infty)) \cap (2, +\infty)$.

Пересечением является интервал $(4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

2) $\log_{\frac{1}{4}} x + \log_{\frac{1}{4}}(x - 6) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8)$

Решение

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 6 > 0 \\ 3x - 8 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > 6 \\ x > \frac{8}{3} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 6$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (6, +\infty)$.

Преобразуем левую часть неравенства:

$\log_{\frac{1}{4}}(x(x - 6)) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8)$

Основание логарифма $\frac{1}{4} < 1$, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x(x - 6) > 3x - 8$

$x^2 - 6x > 3x - 8$

$x^2 - 9x + 8 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.

Парабола $y = x^2 - 9x + 8$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (8, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in ((-\infty, 1) \cup (8, +\infty)) \cap (6, +\infty)$.

Пересечением является интервал $(8, +\infty)$.

Ответ: $x \in (8, +\infty)$.

3) $\log_2(x - 1) + \log_2 x \le 1$

Решение

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением является $x > 1$. ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Преобразуем неравенство. Представим $1$ как логарифм по основанию 2: $1 = \log_2 2$.

$\log_2((x - 1)x) \le \log_2 2$

Основание логарифма $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$(x - 1)x \le 2$

$x^2 - x \le 2$

$x^2 - x - 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включительно): $x \in [-1, 2]$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x \in [-1, 2] \cap (1, +\infty)$.

Пересечением является полуинтервал $(1, 2]$.

Ответ: $x \in (1, 2]$.

4) $\log_3 x + \log_3(x - 8) \ge 2$

Решение

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 8 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > 8 \end{cases}$

Пересечением является $x > 8$. ОДЗ: $x \in (8, +\infty)$.

Преобразуем неравенство. Представим $2$ как логарифм по основанию 3: $2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$.

$\log_3(x(x - 8)) \ge \log_3 9$

Основание логарифма $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x(x - 8) \ge 9$

$x^2 - 8x \ge 9$

$x^2 - 8x - 9 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 8x - 9$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями (включительно): $x \in (-\infty, -1] \cup [9, +\infty)$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x \in ((-\infty, -1] \cup [9, +\infty)) \cap (8, +\infty)$.

Пересечением является луч $[9, +\infty)$.

Ответ: $x \in [9, +\infty)$.