Номер 362, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите области определения функции $y=f(x)$ (362–363):

362.1) $f(x) = 5 - \sqrt{x+4}$;

2) $f(x) = 8 - \sqrt{4-x}$;

3) $f(x) = \sqrt{x} - \log_2(x+1)$;

4) $f(x) = 6x + \log_7(x^2 - 1)$.

1) $f(x) = 5 - \sqrt{x+4}$

Решение:

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Следовательно, мы должны решить неравенство:

$x + 4 \ge 0$

Перенесем 4 в правую часть неравенства:

$x \ge -4$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные -4. В виде промежутка это записывается как $[-4; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [-4; +\infty)$.

2) $f(x) = 8 - \sqrt{4-x}$

Решение:

Аналогично предыдущему пункту, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$4 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$4 \ge x$, что эквивалентно $x \le 4$.

Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие или равные 4. В виде промежутка это записывается как $(-\infty; 4]$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 4]$.

3) $f(x) = \sqrt{x} - \log_2(x+1)$

Решение:

Данная функция состоит из двух частей, каждая из которых имеет свои ограничения на область определения.

1. Для слагаемого $\sqrt{x}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Для слагаемого $\log_2(x+1)$ выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x + 1 > 0$, откуда $x > -1$.

Область определения всей функции является пересечением областей определения ее частей. Таким образом, необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x > -1 \end{cases}$

Решением этой системы является пересечение промежутков $[0; +\infty)$ и $(-1; +\infty)$, что дает промежуток $[0; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [0; +\infty)$.

4) $f(x) = 6x + \log_7(x^2 - 1)$

Решение:

Слагаемое $6x$ определено для всех действительных чисел. Ограничение на область определения накладывает логарифмическая функция.

Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$x^2 - 1 > 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) > 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 1)(x + 1)$ на каждом интервале. Поскольку ветви параболы $y=x^2-1$ направлены вверх, положительные значения будут за корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < -1$ или $x > 1$.

Область определения функции — это объединение двух интервалов.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.