Номер 361, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

361.

1) $\log_{\frac{1}{4}} \sin 2x \le \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2};$

2) $\log_{13} \sin x + \log_{13} \cos x > \log_{13} \frac{1}{4};$

3) $\log_{0,9} (2\cos 4x) > \log_{0,9} \sqrt{3};$

4) $\log_{\frac{4}{5}} \operatorname{tg} x \le 0.$

1) $ \log_{\frac{1}{4}} \sin(2x) \le \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2} $

Решение

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ \sin(2x) > 0 $

Решением этого неравенства являются интервалы $ 2k\pi < 2x < \pi + 2k\pi $, что равносильно $ k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь решим само логарифмическое неравенство. Основание логарифма $ a = \frac{1}{4} $ меньше 1 ($0 < a < 1$), поэтому логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$ \sin(2x) \ge \frac{1}{2} $

Решим полученное тригонометрическое неравенство. На единичной окружности значения синуса, которые больше или равны $ \frac{1}{2} $, соответствуют углам в промежутке $ [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}] $ с учетом периодичности.

$ \frac{\pi}{6} + 2n\pi \le 2x \le \frac{5\pi}{6} + 2n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Разделив все части неравенства на 2, получаем:

$ \frac{\pi}{12} + n\pi \le x \le \frac{5\pi}{12} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Наконец, найдем пересечение полученного решения с ОДЗ.

ОДЗ: $ x \in (k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi) $, что то же самое, что и $ x \in (k\pi, \frac{6\pi}{12} + k\pi) $.

Решение: $ x \in [\frac{\pi}{12} + n\pi, \frac{5\pi}{12} + n\pi] $.

Поскольку $ k\pi < \frac{\pi}{12} + k\pi $ и $ \frac{5\pi}{12} + k\pi < \frac{6\pi}{12} + k\pi $, интервал решения полностью содержится в области допустимых значений. Таким образом, пересечение совпадает с найденным решением.

Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{12} + k\pi, \frac{5\pi}{12} + k\pi], k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \log_{13} \sin x + \log_{13} \cos x > \log_{13} \frac{1}{4} $

Решение

ОДЗ неравенства определяется условиями $ \sin x > 0 $ и $ \cos x > 0 $. Оба этих условия выполняются одновременно, когда угол $x$ находится в первой координатной четверти:

$ 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $, преобразуем левую часть неравенства:

$ \log_{13} (\sin x \cdot \cos x) > \log_{13} \frac{1}{4} $

Основание логарифма $ a = 13 $ больше 1, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$ \sin x \cos x > \frac{1}{4} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $:

$ \frac{1}{2} \sin(2x) > \frac{1}{4} $

$ \sin(2x) > \frac{1}{2} $

Решением этого тригонометрического неравенства является интервал:

$ \frac{\pi}{6} + 2n\pi < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Разделим на 2:

$ \frac{\pi}{12} + n\pi < x < \frac{5\pi}{12} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $ x \in (2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi) $.

Если $n$ четное (т.е., $n=2k$), то интервал решения $ (\frac{\pi}{12} + 2k\pi, \frac{5\pi}{12} + 2k\pi) $ полностью содержится в интервале ОДЗ $ (2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi) $.

Если $n$ нечетное (т.е., $n=2k+1$), то интервал решения $ (\frac{13\pi}{12} + 2k\pi, \frac{17\pi}{12} + 2k\pi) $ соответствует третьей четверти и не имеет пересечения с ОДЗ (первая четверть).

Следовательно, итоговое решение соответствует только случаю с четным $n=2k$.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{12} + 2k\pi, \frac{5\pi}{12} + 2k\pi), k \in \mathbb{Z} $.

3) $ \log_{0.9} (2\cos(4x)) > \log_{0.9} \sqrt{3} $

Решение

ОДЗ: $ 2\cos(4x) > 0 $, что равносильно $ \cos(4x) > 0 $.

Это условие выполняется, когда аргумент косинуса $4x$ находится в интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ с учетом периодичности:

$ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Перейдем к решению самого неравенства. Основание логарифма $ a = 0.9 $ находится в интервале $ (0, 1) $, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$ 2\cos(4x) < \sqrt{3} \implies \cos(4x) < \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Объединяя это неравенство с ОДЗ, получаем систему, которую можно записать как двойное неравенство:

$ 0 < \cos(4x) < \frac{\sqrt{3}}{2} $

Пусть $ t = 4x $. Нам нужно найти такие значения $t$, для которых $ 0 < \cos(t) < \frac{\sqrt{3}}{2} $. На единичной окружности это соответствует двум интервалам в пределах одного оборота:

1. Для $ t $ в первой четверти: $ \frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{2} $.

2. Для $ t $ в четвертой четверти: $ -\frac{\pi}{2} < t < -\frac{\pi}{6} $.

Добавим периодичность $ 2k\pi $ для обоих интервалов:

$ \frac{\pi}{6} + 2k\pi < t < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{2} + 2k\pi < t < -\frac{\pi}{6} + 2k\pi $.

Теперь подставим обратно $ t = 4x $ и разделим все части неравенств на 4:

$ \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} $.

Объединение этих двух семейств интервалов является решением.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}, \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}), k \in \mathbb{Z} $.

4) $ \log_{\frac{4}{5}} \tg x \le 0 $

Решение

ОДЗ: $ \tg x > 0 $. Тангенс положителен в первой и третьей координатных четвертях, что соответствует интервалам:

$ k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $ 0 = \log_{\frac{4}{5}} 1 $. Неравенство принимает вид:

$ \log_{\frac{4}{5}} \tg x \le \log_{\frac{4}{5}} 1 $

Основание логарифма $ a = \frac{4}{5} $ находится в интервале $ (0, 1) $, поэтому функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ \tg x \ge 1 $

Решим это тригонометрическое неравенство. Функция $ y = \tg x $ возрастает на каждом из своих интервалов определения. Уравнение $ \tg x = 1 $ имеет решения $ x = \frac{\pi}{4} + k\pi $. Следовательно, неравенство $ \tg x \ge 1 $ выполняется от этого значения до ближайшей правой вертикальной асимптоты $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $:

$ \frac{\pi}{4} + k\pi \le x < \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Сравним полученное решение с ОДЗ. Интервал решения $ [\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi) $ является подмножеством интервала ОДЗ $ (k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi) $, поэтому дополнительно ограничивать решение не требуется.

Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi), k \in \mathbb{Z} $.