Номер 355, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

355. 1) $log_{\frac{2}{3}}(3x - 8) < log_{\frac{2}{3}}(2x - 9)$;

2) $log_{\frac{4}{3}}(7x + 1) \ge log_{\frac{4}{3}}(x - 9)$;

3) $log_5(x^2 - 1) \ge log_5 3$;

4) $log_{11}(x^2 + 7) < log_{11}(6x - 1)$.

1) $\log_{\frac{2}{3}}(3x - 8) < \log_{\frac{2}{3}}(2x - 9)$

Решение:

Данное логарифмическое неравенство решается в несколько шагов. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), затем решим неравенство, учитывая основание логарифма, и, наконец, объединим полученные результаты.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля.$$\begin{cases}3x - 8 > 0 \\2x - 9 > 0\end{cases}$$Решим систему неравенств:$$\begin{cases}3x > 8 \\2x > 9\end{cases}\implies\begin{cases}x > \frac{8}{3} \\x > \frac{9}{2}\end{cases}$$Поскольку $\frac{9}{2} = 4.5$, а $\frac{8}{3} \approx 2.67$, то для выполнения обоих условий необходимо, чтобы $x$ был больше большего из этих чисел. Таким образом, ОДЗ: $x > \frac{9}{2}$ или $x \in (\frac{9}{2}, +\infty)$.

2. Решение неравенства:
Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_a(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства меняется на противоположный.$$3x - 8 > 2x - 9$$$$3x - 2x > 8 - 9$$$$x > -1$$

3. Пересечение с ОДЗ:
Теперь необходимо найти общее решение, которое удовлетворяет как неравенству ($x > -1$), так и ОДЗ ($x > \frac{9}{2}$).$$\begin{cases}x > -1 \\x > \frac{9}{2}\end{cases}$$Пересечением этих множеств является интервал $(\frac{9}{2}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{9}{2}, +\infty)$.

2) $\log_{\frac{4}{3}}(7x + 1) \ge \log_{\frac{4}{3}}(x - 9)$

Решение:

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.$$\begin{cases}7x + 1 > 0 \\x - 9 > 0\end{cases}$$Решим систему неравенств:$$\begin{cases}7x > -1 \\x > 9\end{cases}\implies\begin{cases}x > -\frac{1}{7} \\x > 9\end{cases}$$Общим решением системы является $x > 9$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (9, +\infty)$.

2. Решение неравенства:
Основание логарифма $a = \frac{4}{3}$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_a(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется.$$7x + 1 \ge x - 9$$$$7x - x \ge -9 - 1$$$$6x \ge -10$$$$x \ge -\frac{10}{6} \implies x \ge -\frac{5}{3}$$

3. Пересечение с ОДЗ:
Найдем пересечение решения $x \ge -\frac{5}{3}$ с ОДЗ $x > 9$.$$\begin{cases}x \ge -\frac{5}{3} \\x > 9\end{cases}$$Пересечением этих множеств является интервал $(9, +\infty)$.

Ответ: $x \in (9, +\infty)$.

3) $\log_5(x^2 - 1) \ge \log_5 3$

Решение:

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.$$x^2 - 1 > 0$$$$(x-1)(x+1) > 0$$Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

2. Решение неравенства:
Основание логарифма $a = 5$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется.$$x^2 - 1 \ge 3$$$$x^2 - 4 \ge 0$$$$(x-2)(x+2) \ge 0$$Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

3. Пересечение с ОДЗ:
Найдем пересечение полученного решения $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ с ОДЗ $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.
- Пересечение $(-\infty, -2]$ и $(-\infty, -1)$ дает $(-\infty, -2]$.
- Пересечение $[2, +\infty)$ и $(1, +\infty)$ дает $[2, +\infty)$.
Объединяя эти результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

4) $\log_{11}(x^2 + 7) < \log_{11}(6x - 1)$

Решение:

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.$$\begin{cases}x^2 + 7 > 0 \\6x - 1 > 0\end{cases}$$Первое неравенство $x^2 + 7 > 0$ выполняется для любого действительного числа $x$, так как $x^2 \ge 0$, и следовательно $x^2 + 7 \ge 7$.
Второе неравенство: $6x - 1 > 0 \implies 6x > 1 \implies x > \frac{1}{6}$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{6}, +\infty)$.

2. Решение неравенства:
Основание логарифма $a = 11$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется.$$x^2 + 7 < 6x - 1$$$$x^2 - 6x + 8 < 0$$Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 6$ и $x_1 \cdot x_2 = 8$. Корни равны $x_1=2$ и $x_2=4$.
Так как парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - 6x + 8 < 0$ выполняется между корнями.
Решение: $x \in (2, 4)$.

3. Пересечение с ОДЗ:
Найдем пересечение решения $x \in (2, 4)$ с ОДЗ $x > \frac{1}{6}$.$$\begin{cases}2 < x < 4 \\x > \frac{1}{6}\end{cases}$$Так как $2 > \frac{1}{6}$, интервал $(2, 4)$ полностью входит в ОДЗ. Следовательно, пересечением является сам интервал $(2, 4)$.

Ответ: $x \in (2, 4)$.