Номер 349, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

349.1) $11^{\frac{x+3}{x^2-4}} > 1;$

2) $7^{\frac{x^2-25}{x+6}} \le 1;$

3) $0,08^{\frac{x}{x^2-1}} \ge 1;$

4) $(\frac{3}{4})^{\frac{x^2-36}{x^2-16}} < 1.$

1) $11^{\frac{x+3}{x^2-4}} > 1$
Решение:
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 11: $1 = 11^0$.
Неравенство примет вид: $11^{\frac{x+3}{x^2-4}} > 11^0$.
Так как основание степени $11 > 1$, то показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$\frac{x+3}{x^2-4} > 0$
Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{x+3}{(x-2)(x+2)} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x = -3$, $x = -2$, $x = 2$.
Отметим эти точки на числовой оси (все точки выколотые, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю). Эти точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале, подставляя любое значение из интервала в выражение $\frac{x+3}{(x-2)(x+2)}$:
- При $x \in (2; +\infty)$ (например, $x=3$): $\frac{+}{(+)(+)} = +$.
- При $x \in (-2; 2)$ (например, $x=0$): $\frac{+}{(-)(+)} = -$.
- При $x \in (-3; -2)$ (например, $x=-2.5$): $\frac{+}{(-)(-)} = +$.
- При $x \in (-\infty; -3)$ (например, $x=-4$): $\frac{-}{(-)(-)} = -$.
Так как знак неравенства ">", выбираем интервалы со знаком "+".
Решением является объединение интервалов: $x \in (-3, -2) \cup (2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; +\infty)$.

2) $7^{\frac{x^2-25}{x+6}} \le 1$
Решение:
Представим 1 как $7^0$. Неравенство примет вид: $7^{\frac{x^2-25}{x+6}} \le 7^0$.
Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция возрастающая, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$\frac{x^2-25}{x+6} \le 0$
Разложим числитель на множители:
$\frac{(x-5)(x+5)}{x+6} \le 0$
Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=5$, $x=-5$. Нуль знаменателя: $x=-6$.
Нанесем точки на числовую ось. Точки $x=5$ и $x=-5$ будут закрашенными (неравенство нестрогое), а точка $x=-6$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю).

Определим знаки выражения $\frac{(x-5)(x+5)}{x+6}$ на интервалах:
- При $x \in (5; +\infty)$ (например, $x=6$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$.
- При $x \in (-5; 5)$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} = -$.
- При $x \in (-6; -5)$ (например, $x=-5.5$): $\frac{(-)(-)}{(+)} = +$.
- При $x \in (-\infty; -6)$ (например, $x=-7$): $\frac{(-)(-)}{(-)} = -$.
Так как знак неравенства "$\le$", выбираем интервалы со знаком "−" и включаем закрашенные точки.
Решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty, -6) \cup [-5, 5]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup [-5; 5]$.

3) $0,08^{\frac{x}{x^2-1}} \ge 1$
Решение:
Представим 1 как $0,08^0$. Неравенство примет вид: $0,08^{\frac{x}{x^2-1}} \ge 0,08^0$.
Так как основание степени $0,08 < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x}{x^2-1} \le 0$
Разложим знаменатель на множители:
$\frac{x}{(x-1)(x+1)} \le 0$
Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $x=0$. Нули знаменателя: $x=1$, $x=-1$.
Нанесем точки на числовую ось. Точка $x=0$ закрашенная, а точки $x=1$ и $x=-1$ — выколотые.

Определим знаки выражения $\frac{x}{(x-1)(x+1)}$ на интервалах:
- При $x \in (1; +\infty)$ (например, $x=2$): $\frac{+}{(+)(+)} = +$.
- При $x \in (0; 1)$ (например, $x=0.5$): $\frac{+}{(-)(+)} = -$.
- При $x \in (-1; 0)$ (например, $x=-0.5$): $\frac{-}{(-)(+)} = +$.
- При $x \in (-\infty; -1)$ (например, $x=-2$): $\frac{-}{(-)(-)} = -$.
Так как знак неравенства "$\le$", выбираем интервалы со знаком "−" и включаем закрашенные точки.
Решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty, -1) \cup [0, 1)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup [0; 1)$.

4) $(\frac{3}{4})^{\frac{x^2-36}{x^2-16}} < 1$
Решение:
Представим 1 как $(\frac{3}{4})^0$. Неравенство примет вид: $(\frac{3}{4})^{\frac{x^2-36}{x^2-16}} < (\frac{3}{4})^0$.
Так как основание степени $\frac{3}{4} < 1$, показательная функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$\frac{x^2-36}{x^2-16} > 0$
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$\frac{(x-6)(x+6)}{(x-4)(x+4)} > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=6$, $x=-6$. Нули знаменателя: $x=4$, $x=-4$.
Так как неравенство строгое, все точки на числовой оси будут выколотыми.

Определим знаки выражения $\frac{(x-6)(x+6)}{(x-4)(x+4)}$ на интервалах:
- При $x \in (6; +\infty)$ (например, $x=7$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$.
- При $x \in (4; 6)$ (например, $x=5$): $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} = -$.
- При $x \in (-4; 4)$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} = +$.
- При $x \in (-6; -4)$ (например, $x=-5$): $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} = -$.
- При $x \in (-\infty; -6)$ (например, $x=-7$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} = +$.
Так как знак неравенства ">", выбираем интервалы со знаком "+".
Решением является объединение интервалов: $x \in (-\infty, -6) \cup (-4, 4) \cup (6, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-4; 4) \cup (6; +\infty)$.