Номер 346, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

346. 1) $7^{x^2 - 2x} > 343;$

2) $6^{3x - x^2} < 36;$

3) $\frac{3^x - 9}{3x^2 + 2} \le 0;$

4) $\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x - \frac{1}{4}}{7 + 2x^2} \ge 0.$

1) $7^{x^2-2x} > 343$

Решение

Представим число 343 как степень с основанием 7:

$343 = 7^3$

Тогда исходное неравенство примет вид:

$7^{x^2-2x} > 7^3$

Так как основание степени $7 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$x^2 - 2x > 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 - 2x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения или по теореме Виета, находим корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{2-4}{2} = -1$

$x_2 = \frac{2+4}{2} = 3$

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции положительны (больше нуля) при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 3$.

В виде интервалов это записывается как $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

2) $6^{3x-x^2} < 36$

Решение

Представим число 36 как степень с основанием 6:

$36 = 6^2$

Неравенство принимает вид:

$6^{3x-x^2} < 6^2$

Так как основание степени $6 > 1$, функция возрастающая, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$3x - x^2 < 2$

Перенесем все члены в одну часть:

$-x^2 + 3x - 2 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 3x + 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 3x + 2$ имеет ветви вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x < 1$ или $x > 2$.

В виде интервалов: $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

3) $\frac{3^x - 9}{3x^2 + 2} \le 0$

Решение

Рассмотрим знаменатель дроби: $3x^2 + 2$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $3x^2 \ge 0$.

Следовательно, $3x^2 + 2 \ge 2$. Это означает, что знаменатель всегда положителен.

Так как знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака числителя. Поэтому исходное неравенство равносильно следующему:

$3^x - 9 \le 0$

Решим это показательное неравенство:

$3^x \le 9$

$3^x \le 3^2$

Основание степени $3 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x \le 2$

Решение в виде интервала: $(-\infty; 2]$.

Ответ: $(-\infty; 2]$.

4) $\frac{(\frac{1}{2})^x - \frac{1}{4}}{7 + 2x^2} \ge 0$

Решение

Рассмотрим знаменатель дроби: $7 + 2x^2$.

Так как $x^2 \ge 0$, то $2x^2 \ge 0$, и $7 + 2x^2 \ge 7$. Знаменатель всегда положителен.

Поскольку знаменатель всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно следующему:

$(\frac{1}{2})^x - \frac{1}{4} \ge 0$

Решим это показательное неравенство:

$(\frac{1}{2})^x \ge \frac{1}{4}$

Представим $\frac{1}{4}$ как степень с основанием $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{2})^x \ge (\frac{1}{2})^2$

Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства нужно изменить на противоположный:

$x \le 2$

Решение в виде интервала: $(-\infty; 2]$.

Ответ: $(-\infty; 2]$.