Номер 350, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

350. 1) $3 - 8 \cdot 3^{-x} - 3^{1-2x} \ge 0;$

2) $5 \cdot 4^x + 3 \cdot 10^x - 2 \cdot 25^x \le 0;$

3) $3^{2x+1} > 4 - 3^x,$

4) $8^x + 3 \cdot 4^x - 2^{x+2} - 12 \ge 0.$

1)

Дано:

Неравенство $3 - 8 \cdot 3^{-x} - 3^{1-2x} \ge 0$.

Найти:

Множество решений неравенства.

Решение:

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $3 - 8 \cdot \frac{1}{3^x} - 3^1 \cdot 3^{-2x} \ge 0$, что равносильно $3 - \frac{8}{3^x} - \frac{3}{(3^x)^2} \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{-x}$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $3 - 8t - 3t^2 \ge 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $3t^2 + 8t - 3 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3t^2 + 8t - 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$ и $t_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Так как ветви параболы $y = 3t^2 + 8t - 3$ направлены вверх, неравенство $3t^2 + 8t - 3 \le 0$ выполняется при $t \in [-3, \frac{1}{3}]$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t \le \frac{1}{3}$.

Вернемся к исходной переменной: $0 < 3^{-x} \le \frac{1}{3}$.

Неравенство $3^{-x} > 0$ верно для любого $x$. Решим неравенство $3^{-x} \le \frac{1}{3}$. Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$. Получим $3^{-x} \le 3^{-1}$.

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $-x \le -1$.

Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

2)

Дано:

Неравенство $5 \cdot 4^x + 3 \cdot 10^x - 2 \cdot 25^x \le 0$.

Найти:

Множество решений неравенства.

Решение:

Заметим, что $4^x = (2^x)^2$, $25^x = (5^x)^2$, $10^x = 2^x \cdot 5^x$. Неравенство является однородным: $5 \cdot (2^x)^2 + 3 \cdot (2^x \cdot 5^x) - 2 \cdot (5^x)^2 \le 0$.

Разделим обе части неравенства на $(5^x)^2$. Так как $(5^x)^2 > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится:

$5 \cdot \frac{(2^x)^2}{(5^x)^2} + 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 2 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} \le 0$

$5 \cdot (\frac{2}{5})^{2x} + 3 \cdot (\frac{2}{5})^x - 2 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{5})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $5t^2 + 3t - 2 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $5t^2 + 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$ и $t_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Так как ветви параболы $y = 5t^2 + 3t - 2$ направлены вверх, неравенство $5t^2 + 3t - 2 \le 0$ выполняется при $t \in [-1, \frac{2}{5}]$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t \le \frac{2}{5}$.

Вернемся к исходной переменной: $0 < (\frac{2}{5})^x \le \frac{2}{5}$.

Решим неравенство $(\frac{2}{5})^x \le (\frac{2}{5})^1$.

Так как основание степени $0 < \frac{2}{5} < 1$, то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

3)

Дано:

Неравенство $3^{2x+1} > 4 - 3^x$.

Найти:

Множество решений неравенства.

Решение:

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем неравенство:

$3^{2x} \cdot 3^1 + 3^x - 4 > 0$

$3 \cdot (3^x)^2 + 3^x - 4 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $3t^2 + t - 4 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $3t^2 + t - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$ и $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Так как ветви параболы $y = 3t^2 + t - 4$ направлены вверх, неравенство $3t^2 + t - 4 > 0$ выполняется при $t < -\frac{4}{3}$ или $t > 1$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > 1$.

Вернемся к исходной переменной: $3^x > 1$.

Представим 1 как $3^0$: $3^x > 3^0$.

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

4)

Дано:

Неравенство $8^x + 3 \cdot 4^x - 2^{x+2} - 12 \ge 0$.

Найти:

Множество решений неравенства.

Решение:

Приведем все степени к основанию 2:

$(2^3)^x + 3 \cdot (2^2)^x - 2^x \cdot 2^2 - 12 \ge 0$

$(2^x)^3 + 3 \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x - 12 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Неравенство принимает вид кубического неравенства: $t^3 + 3t^2 - 4t - 12 \ge 0$.

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$t^2(t+3) - 4(t+3) \ge 0$

$(t^2 - 4)(t+3) \ge 0$

$(t-2)(t+2)(t+3) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни многочлена в левой части: $t=2, t=-2, t=-3$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Определив знаки выражения $(t-2)(t+2)(t+3)$ в каждом интервале, находим, что неравенство $\ge 0$ выполняется при $t \in [-3, -2] \cup [2, +\infty)$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge 2$.

Вернемся к исходной переменной: $2^x \ge 2$.

Представим 2 как $2^1$: $2^x \ge 2^1$.

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.