Номер 354, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

354.

1) $\log_{\frac{1}{7}} \frac{x-5}{x+4} \ge 0;$

2) $\log_{0,15} \frac{5-x}{4+x} < 0;$

3) $\log_4 \frac{x-3}{x} \le 0;$

4) $\log_{\frac{1}{5}} \frac{x}{x+2} < -1.$

1) $\log_{\frac{1}{7}}{\frac{x-5}{x+4}} \ge 0$

Для решения логарифмического неравенства необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) и решить само неравенство, а затем найти пересечение полученных множеств.

1. Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:$\frac{x-5}{x+4} > 0$Решим это неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя:$x-5=0 \implies x=5$$x+4=0 \implies x=-4$Отметим эти точки на числовой оси и определим знак дроби в каждом из интервалов: $(-\infty, -4)$, $(-4, 5)$, $(5, +\infty)$.

• При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{6-5}{6+4} = \frac{1}{10} > 0$. Интервал подходит.
• При $-4 < x < 5$ (например, $x=0$): $\frac{0-5}{0+4} = -\frac{5}{4} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-5-5}{-5+4} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$. Интервал подходит.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -4) \cup (5, +\infty)$.

2. Решим исходное неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $0 = \log_{\frac{1}{7}}(1)$.$\log_{\frac{1}{7}}{\frac{x-5}{x+4}} \ge \log_{\frac{1}{7}}(1)$Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:$\frac{x-5}{x+4} \le 1$Перенесём 1 в левую часть и приведём к общему знаменателю:$\frac{x-5}{x+4} - 1 \le 0$$\frac{x-5 - (x+4)}{x+4} \le 0$$\frac{x-5-x-4}{x+4} \le 0$$\frac{-9}{x+4} \le 0$Числитель дроби (-9) отрицателен. Чтобы вся дробь была меньше или равна нулю, знаменатель должен быть строго больше нуля (знаменатель не может быть равен нулю).$x+4 > 0 \implies x > -4$.

3. Найдём пересечение решения неравенства ($x > -4$) и ОДЗ ($x \in (-\infty, -4) \cup (5, +\infty)$).Пересечением этих множеств является интервал $(5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (5, +\infty)$.

2) $\log_{0,15}{\frac{5-x}{4+x}} < 0$

1. Найдём ОДЗ:$\frac{5-x}{4+x} > 0$Нули числителя: $5-x=0 \implies x=5$.Нули знаменателя: $4+x=0 \implies x=-4$.Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (-4, 5)$.

2. Решим неравенство. Представим 0 как $\log_{0,15}(1)$.$\log_{0,15}{\frac{5-x}{4+x}} < \log_{0,15}(1)$Основание $a = 0,15$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный.$\frac{5-x}{4+x} > 1$$\frac{5-x}{4+x} - 1 > 0$$\frac{5-x - (4+x)}{4+x} > 0$$\frac{1-2x}{4+x} > 0$Нули числителя: $1-2x=0 \implies x = \frac{1}{2}$.Нули знаменателя: $4+x=0 \implies x = -4$.Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (-4, \frac{1}{2})$.

3. Найдём пересечение ОДЗ ($x \in (-4, 5)$) и решения неравенства ($x \in (-4, \frac{1}{2})$).Пересечением является интервал $(-4, \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-4, \frac{1}{2})$.

3) $\log_{4}{\frac{x-3}{x}} \le 0$

1. Найдём ОДЗ:$\frac{x-3}{x} > 0$Нули числителя: $x=3$. Нули знаменателя: $x=0$.Методом интервалов находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим 0 как $\log_{4}(1)$.$\log_{4}{\frac{x-3}{x}} \le \log_{4}(1)$Основание $a = 4 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется.$\frac{x-3}{x} \le 1$$\frac{x-3}{x} - 1 \le 0$$\frac{x-3-x}{x} \le 0$$\frac{-3}{x} \le 0$Числитель отрицателен, значит, для выполнения неравенства знаменатель должен быть строго положителен.$x > 0$.

3. Найдём пересечение ОДЗ ($x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$) и решения неравенства ($x > 0$).Пересечением является интервал $(3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

4) $\log_{\frac{1}{5}}{\frac{x}{x+2}} < -1$

1. Найдём ОДЗ:$\frac{x}{x+2} > 0$Нули числителя: $x=0$. Нули знаменателя: $x=-2$.Методом интервалов находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим -1 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{5}$:$-1 = \log_{\frac{1}{5}}((\frac{1}{5})^{-1}) = \log_{\frac{1}{5}}(5)$.$\log_{\frac{1}{5}}{\frac{x}{x+2}} < \log_{\frac{1}{5}}(5)$Основание $a = \frac{1}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный.$\frac{x}{x+2} > 5$$\frac{x}{x+2} - 5 > 0$$\frac{x - 5(x+2)}{x+2} > 0$$\frac{x - 5x - 10}{x+2} > 0$$\frac{-4x - 10}{x+2} > 0$Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:$\frac{4x+10}{x+2} < 0$Нули числителя: $4x+10=0 \implies x = -2,5$.Нули знаменателя: $x+2=0 \implies x = -2$.Методом интервалов находим, что решение неравенства: $x \in (-2,5, -2)$.

3. Найдём пересечение ОДЗ ($x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$) и решения неравенства ($x \in (-2,5, -2)$).Пересечением является интервал $(-2,5, -2)$.

Ответ: $x \in (-2,5, -2)$.