Номер 360, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

360. 1) $log_{1/2} \frac{x^2+3}{x+3} < -1;$

2) $log_2 \frac{x^2-4}{x+10} > 1;$

3) $log_3 x + log_3 (x-1) > log_3 x + 1;$

4) $log_{0,1} (x-2) + 1 \leq log_{0,1} 0,3 - log_{0,1} x.$

1)

Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2+3}{x+3} < -1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$\frac{x^2+3}{x+3} > 0$

Числитель $x^2+3$ всегда положителен при любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$ и, следовательно, $x^2+3 \ge 3$. Таким образом, знак дроби определяется знаком знаменателя:

$x+3 > 0 \implies x > -3$.

ОДЗ: $x \in (-3; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$:

$-1 = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-1}) = \log_{\frac{1}{2}} 2$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2+3}{x+3} < \log_{\frac{1}{2}} 2$.

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x^2+3}{x+3} > 2$

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2+3}{x+3} - 2 > 0$

$\frac{x^2+3 - 2(x+3)}{x+3} > 0$

$\frac{x^2+3 - 2x - 6}{x+3} > 0$

$\frac{x^2 - 2x - 3}{x+3} > 0$

Разложим числитель на множители. Корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

$\frac{(x-3)(x+1)}{x+3} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки $x=-3, x=-1, x=3$. Эти точки разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения в каждом интервале:

Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение положительно: $x \in (-3; -1) \cup (3; +\infty)$.

Совместим полученное решение с ОДЗ ($x > -3$). Пересечением множеств является $x \in (-3; -1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; -1) \cup (3; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $\log_{2} \frac{x^2-4}{x+10} > 1$.

ОДЗ: $\frac{x^2-4}{x+10} > 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x-2)(x+2)}{x+10} > 0$.

Решим методом интервалов. Корни: $x=2, x=-2, x=-10$.

ОДЗ: $x \in (-10; -2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь решаем неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 2: $1 = \log_2 2$.

$\log_{2} \frac{x^2-4}{x+10} > \log_2 2$.

Так как основание логарифма $a=2 > 1$, функция возрастающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$\frac{x^2-4}{x+10} > 2$

$\frac{x^2-4}{x+10} - 2 > 0$

$\frac{x^2-4 - 2(x+10)}{x+10} > 0$

$\frac{x^2-4 - 2x - 20}{x+10} > 0$

$\frac{x^2 - 2x - 24}{x+10} > 0$

Найдем корни числителя $x^2 - 2x - 24 = 0$. Корни: $x_1=6, x_2=-4$.

$\frac{(x-6)(x+4)}{x+10} > 0$

Решим методом интервалов. Корни: $x=6, x=-4, x=-10$.

Решение: $x \in (-10; -4) \cup (6; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-10; -2) \cup (2; +\infty)$.

Пересечение интервалов $(-10; -4)$ и $(-10; -2)$ дает $(-10; -4)$.

Пересечение интервалов $(6; +\infty)$ и $(2; +\infty)$ дает $(6; +\infty)$.

Итоговое решение: $x \in (-10; -4) \cup (6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-10; -4) \cup (6; +\infty)$.

3)

Решим неравенство $\log_3 x + \log_3(x-1) > \log_3 x + 1$.

ОДЗ: аргументы всех логарифмов должны быть положительными.

$\begin{cases} x > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$.

ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Упростим исходное неравенство. Можно вычесть $\log_3 x$ из обеих частей:

$\log_3(x-1) > 1$.

Представим 1 как логарифм по основанию 3: $1 = \log_3 3$.

$\log_3(x-1) > \log_3 3$.

Так как основание логарифма $a=3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$x-1 > 3$

$x > 4$.

Совместим решение $x > 4$ с ОДЗ $x > 1$. Пересечением является $x > 4$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

4)

Решим неравенство $\log_{0,1}(x-2) + 1 \le \log_{0,1} 0,3 - \log_{0,1} x$.

ОДЗ:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 2$.

ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

Преобразуем неравенство. Перенесем все логарифмы в левую часть, а константу в правую:

$\log_{0,1}(x-2) + \log_{0,1} x \le \log_{0,1} 0,3 - 1$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_{0,1}(x(x-2)) \le \log_{0,1} 0,3 - 1$.

Представим -1 как логарифм по основанию 0,1: $-1 = \log_{0,1} (0,1^{-1}) = \log_{0,1} 10$.

$\log_{0,1}(x(x-2)) \le \log_{0,1} 0,3 + \log_{0,1} 10$.

$\log_{0,1}(x^2-2x) \le \log_{0,1}(0,3 \cdot 10)$.

$\log_{0,1}(x^2-2x) \le \log_{0,1} 3$.

Так как основание логарифма $a=0,1$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2-2x \ge 3$.

$x^2-2x-3 \ge 0$.

Корни квадратного уравнения $x^2-2x-3=0$ равны $x_1=3, x_2=-1$.

Неравенство можно записать в виде $(x-3)(x+1) \ge 0$.

Это парабола с ветвями вверх, она принимает неотрицательные значения при $x \le -1$ или $x \ge 3$.

Решение: $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x > 2$).

Пересечение $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$ и $x \in (2; +\infty)$ дает $x \in [3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.