Номер 353, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите логарифмические неравенства (353–361):

353.1) $log_4(5 - 3x) > 1;$

353.2) $log_2(6 - 5x) < 1;$

353.3) $log_{0,5}(1 + 2x) < -1;$

353.4) $log_{\frac{1}{3}}(4x - 3) > -1.$

1) $\log_4(5 - 3x) > 1$

Решение
Для решения логарифмического неравенства необходимо рассмотреть два условия: область допустимых значений (ОДЗ) и само неравенство.
1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
$5 - 3x > 0$
$-3x > -5$
$x < \frac{5}{3}$
2. Решение неравенства: Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием.
$1 = \log_4(4^1) = \log_4(4)$
Неравенство принимает вид:
$\log_4(5 - 3x) > \log_4(4)$
Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется.
$5 - 3x > 4$
$-3x > 4 - 5$
$-3x > -1$
$x < \frac{1}{3}$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)
3. Найдем пересечение решений: необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно.
$\begin{cases} x < \frac{5}{3} \\ x < \frac{1}{3} \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x < \frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3})$.

2) $\log_2(6 - 5x) < 1$

Решение
1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
$6 - 5x > 0$
$-5x > -6$
$x < \frac{6}{5}$
2. Решение неравенства: Представим 1 в виде логарифма с основанием 2.
$1 = \log_2(2)$
$\log_2(6 - 5x) < \log_2(2)$
Основание логарифма $2 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется.
$6 - 5x < 2$
$-5x < 2 - 6$
$-5x < -4$
$x > \frac{4}{5}$
3. Найдем пересечение ОДЗ и решения неравенства.
$\begin{cases} x < \frac{6}{5} \\ x > \frac{4}{5} \end{cases}$
Решением системы является интервал $\frac{4}{5} < x < \frac{6}{5}$.
Ответ: $x \in (\frac{4}{5}; \frac{6}{5})$.

3) $\log_{0.5}(1 + 2x) < -1$

Решение
1. ОДЗ:
$1 + 2x > 0$
$2x > -1$
$x > -\frac{1}{2}$
2. Решение неравенства: Представим -1 в виде логарифма с основанием 0.5.
$-1 = \log_{0.5}(0.5^{-1}) = \log_{0.5}(2)$
$\log_{0.5}(1 + 2x) < \log_{0.5}(2)$
Так как основание логарифма $0.5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный.
$1 + 2x > 2$
$2x > 1$
$x > \frac{1}{2}$
3. Найдем пересечение.
$\begin{cases} x > -\frac{1}{2} \\ x > \frac{1}{2} \end{cases}$
Пересечением является $x > \frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

4) $\log_{\frac{1}{3}}(4x - 3) > -1$

Решение
1. ОДЗ:
$4x - 3 > 0$
$4x > 3$
$x > \frac{3}{4}$
2. Решение неравенства: Представим -1 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$.
$-1 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}}(3)$
$\log_{\frac{1}{3}}(4x - 3) > \log_{\frac{1}{3}}(3)$
Основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный.
$4x - 3 < 3$
$4x < 6$
$x < \frac{6}{4}$
$x < \frac{3}{2}$
3. Найдем пересечение.
$\begin{cases} x > \frac{3}{4} \\ x < \frac{3}{2} \end{cases}$
Решением системы является интервал $\frac{3}{4} < x < \frac{3}{2}$.
Ответ: $x \in (\frac{3}{4}; \frac{3}{2})$.