Номер 348, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

348. 1)

$36 \cdot \left(\frac{1}{36}\right)^{2x} < 6^{x(x-3)};$

2)

$25 \cdot 0,2^{x(3+x)} > 0,04^{2x};$

3)

$9^x - 10 \cdot 3^x \le -9;$

4)

$4^{x+1} - 3 \cdot 2^x > 1.$

1) $36 \cdot \left(\frac{1}{36}\right)^{2x} < 6^{x(x-3)}$

Решение:

Приведем обе части неравенства к основанию 6.
Левая часть: $36 \cdot \left(\frac{1}{36}\right)^{2x} = 6^2 \cdot (36^{-1})^{2x} = 6^2 \cdot ((6^2)^{-1})^{2x} = 6^2 \cdot (6^{-2})^{2x} = 6^2 \cdot 6^{-4x} = 6^{2-4x}$.
Правая часть: $6^{x(x-3)} = 6^{x^2-3x}$.
Получаем неравенство: $6^{2-4x} < 6^{x^2-3x}$.
Так как основание степени $6 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$2 - 4x < x^2 - 3x$.
Перенесем все члены в правую часть:
$0 < x^2 - 3x + 4x - 2$
$x^2 + x - 2 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Парабола $y = x^2 + x - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется при $x$ вне интервала между корнями.
Следовательно, $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$.

2) $25 \cdot 0,2^{x(3+x)} > 0,04^{2x}$

Решение:

Приведем обе части неравенства к основанию 5.
$25 = 5^2$
$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$
Левая часть: $25 \cdot 0,2^{x(3+x)} = 5^2 \cdot (5^{-1})^{x(3+x)} = 5^2 \cdot 5^{-x^2-3x} = 5^{2-3x-x^2}$.
Правая часть: $0,04^{2x} = (5^{-2})^{2x} = 5^{-4x}$.
Получаем неравенство: $5^{2-3x-x^2} > 5^{-4x}$.
Так как основание степени $5 > 1$, то знак неравенства для показателей сохраняется:
$2 - 3x - x^2 > -4x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$-x^2 - 3x + 4x + 2 > 0$
$-x^2 + x + 2 > 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x^2 - x - 2 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется при $x$ в интервале между корнями.
Следовательно, $x \in (-1, 2)$.

Ответ: $(-1, 2)$.

3) $9^x - 10 \cdot 3^x \le -9$

Решение:

Перепишем неравенство: $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0$.
Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t^2 - 10t + 9 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.
Парабола $y = t^2 - 10t + 9$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется при $t$ между корнями, включая сами корни.
$1 \le t \le 9$.
Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$1 \le 3^x \le 9$.
Представим 1 и 9 как степени числа 3:
$3^0 \le 3^x \le 3^2$.
Так как основание $3 > 1$, то для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$0 \le x \le 2$.

Ответ: $[0, 2]$.

4) $4^{x+1} - 3 \cdot 2^x > 1$

Решение:

Перепишем неравенство, приведя его к одному основанию:
$4 \cdot 4^x - 3 \cdot 2^x - 1 > 0$
$4 \cdot (2^2)^x - 3 \cdot 2^x - 1 > 0$
$4 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 1 > 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Условие: $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$4t^2 - 3t - 1 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $4t^2 - 3t - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.
Парабола $y = 4t^2 - 3t - 1$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется при $t$ вне интервала между корнями.
$t < -\frac{1}{4}$ или $t > 1$.
Учитывая условие $t > 0$, решение $t < -\frac{1}{4}$ является посторонним.
Остается $t > 1$.
Вернемся к переменной $x$:
$2^x > 1$.
$2^x > 2^0$.
Так как основание $2 > 1$, то для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$x > 0$.

Ответ: $(0, +\infty)$.