Номер 341, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

341.1)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ lgx + lgy = lg12; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \log_{0.5} x + \log_{0.5} y = -1, \\ x - 2y = 3. \end{cases}$

1)

Дано:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ \lg x + \lg y = \lg 12 \end{cases} $

Найти:

Найти $x$ и $y$.

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения. Так как аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, имеем: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

$\lg(xy) = \lg 12$

Из этого следует, что:

$xy = 12$

Теперь мы имеем новую, более простую систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases} $

Эту систему можно решить. Умножим второе уравнение на 2:

$2xy = 24$

Теперь сложим это уравнение с первым уравнением системы:

$x^2 + 2xy + y^2 = 25 + 24$

Левая часть является полным квадратом суммы:

$(x+y)^2 = 49$

Отсюда $x+y = \sqrt{49}$, что дает $x+y = 7$ или $x+y = -7$. Поскольку по ОДЗ $x > 0$ и $y > 0$, их сумма также должна быть положительной. Следовательно, мы выбираем $x+y=7$.

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} x+y = 7 \\ xy = 12 \end{cases} $

Эта система является прямой иллюстрацией теоремы Виета для квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим наши значения:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти по формуле или подбором. Корнями являются $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Это означает, что решениями системы являются пары $(x, y)$, где одна переменная равна 3, а другая 4.

Таким образом, мы имеем два решения:

1. $x=3$, $y=4$

2. $x=4$, $y=3$

Оба решения удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: $(3; 4)$, $(4; 3)$.

2)

Дано:

$ \begin{cases} \log_{0.5} x + \log_{0.5} y = -1 \\ x - 2y = 3 \end{cases} $

Найти:

Найти $x$ и $y$.

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения. Аргументы логарифмов должны быть положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_{0.5}(xy) = -1$

По определению логарифма, это эквивалентно:

$xy = (0.5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$

Теперь система уравнений выглядит так:

$ \begin{cases} xy = 2 \\ x - 2y = 3 \end{cases} $

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 3 + 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(3 + 2y)y = 2$

$3y + 2y^2 = 2$

$2y^2 + 3y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$\sqrt{D} = 5$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

Согласно ОДЗ, $y > 0$. Поэтому корень $y_1 = -2$ не является решением системы. Остается только $y = 0.5$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$, используя выражение $x = 3 + 2y$:

$x = 3 + 2 \cdot 0.5 = 3 + 1 = 4$

Значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Таким образом, единственное решение системы — пара $(4; 0.5)$.

Ответ: $(4; 0.5)$.