Номер 337, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

337.1) $\log^2_{\frac{1}{2}} x + 2 \log_{\frac{1}{2}} x - 3 = 0;$

2) $2 \log_3(x - 1) = \log_3(1,5x + 1);$

3) $\log_2(x^2 + 4x + 1) = \log_2(6x + 2) - 1;$

4) $\log_3(3 - x) - 2 \log_3 2 = 1 - \log_3 (4 - x).$

1) $log_{1/2}^2 x + 2 log_{1/2} x - 3 = 0$

Решение:
Данное уравнение является квадратным относительно $log_{1/2} x$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_{1/2} x$. Тогда уравнение примет вид:
$t^2 + 2t - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:
$t_1 + t_2 = -2$
$t_1 \cdot t_2 = -3$
Отсюда находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
1. $log_{1/2} x = t_1 = 1$
$x = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$
2. $log_{1/2} x = t_2 = -3$
$x = (\frac{1}{2})^{-3} = (2^{-1})^{-3} = 2^3 = 8$
Оба корня, $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = 8$, удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x = \frac{1}{2}$, $x = 8$.

2) $2 log_3(x - 1) = log_3(1,5x + 1)$

Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 1,5x + 1 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 1 \\ 1,5x > -1 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 1 \\ x > -\frac{1}{1,5} \end{cases}$
$\begin{cases} x > 1 \\ x > -\frac{2}{3} \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x > 1$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифма $n \cdot log_a b = log_a (b^n)$:
$log_3((x - 1)^2) = log_3(1,5x + 1)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$(x - 1)^2 = 1,5x + 1$
$x^2 - 2x + 1 = 1,5x + 1$
$x^2 - 2x - 1,5x + 1 - 1 = 0$
$x^2 - 3,5x = 0$
$x(x - 3,5) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3,5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \ngtr 1$.
$x_2 = 3,5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3,5 > 1$.
Ответ: $x = 3,5$.

3) $log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(6x + 2) - 1$

Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x^2 + 4x + 1 > 0 \\ 6x + 2 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$. $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
Неравенство $x^2 + 4x + 1 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$.
Решим второе неравенство: $6x + 2 > 0 \implies 6x > -2 \implies x > -\frac{1}{3}$.
Найдем пересечение решений: так как $-2 + \sqrt{3} \approx -2 + 1,73 = -0,27$, а $-\frac{1}{3} \approx -0,33$, то условие $x > -2 + \sqrt{3}$ является более строгим.
ОДЗ: $x > -2 + \sqrt{3}$.
Преобразуем исходное уравнение. Представим $1$ как $log_2 2$:
$log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(6x + 2) - log_2 2$
Используя свойство разности логарифмов $log_a b - log_a c = log_a(\frac{b}{c})$:
$log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(\frac{6x + 2}{2})$
$log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(3x + 1)$
Приравниваем аргументы:
$x^2 + 4x + 1 = 3x + 1$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -2 + \sqrt{3} \approx -0,27$):
$x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 > -0,27$.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 \ngtr -0,27$.
Ответ: $x = 0$.

4) $log_3(3 - x) - 2 log_3 2 = 1 - log_3(4 - x)$

Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 3 - x > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x < 3 \\ x < 4 \end{cases}$
ОДЗ: $x < 3$.
Сгруппируем члены с логарифмами в одной части уравнения. Представим $1$ как $log_3 3$:
$log_3(3 - x) + log_3(4 - x) = 1 + 2 log_3 2$
Применим свойства логарифмов: $log_a b + log_a c = log_a(bc)$ и $n \cdot log_a b = log_a(b^n)$.
$log_3((3 - x)(4 - x)) = log_3 3 + log_3(2^2)$
$log_3((3 - x)(4 - x)) = log_3 3 + log_3 4$
$log_3((3 - x)(4 - x)) = log_3(3 \cdot 4)$
$log_3(12 - 4x - 3x + x^2) = log_3 12$
$log_3(x^2 - 7x + 12) = log_3 12$
Приравниваем аргументы:
$x^2 - 7x + 12 = 12$
$x^2 - 7x = 0$
$x(x - 7) = 0$
Получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x < 3$):
$x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < 3$.
$x_2 = 7$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $7 \not< 3$.
Ответ: $x = 0$.