Номер 330, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

330.1) $2^x - 5 \cdot 2^{x-4} = 11;$

2) $5^x - 4 \cdot 5^{x-2} = 21;$

3) $3 \cdot 2^{x-1} + 2^{x+4} = 35;$

4) $6^{x-1} + 5 \cdot 6^{x-2} = 11.$

1) $2^x - 5 \cdot 2^{x-4} = 11$

Решение

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^x - 5 \cdot \frac{2^x}{2^4} = 11$

Поскольку $2^4 = 16$, получаем:

$2^x - 5 \cdot \frac{2^x}{16} = 11$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \left(1 - \frac{5}{16}\right) = 11$

Вычислим выражение в скобках:

$1 - \frac{5}{16} = \frac{16}{16} - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$

Подставим результат обратно в уравнение:

$2^x \cdot \frac{11}{16} = 11$

Разделим обе части уравнения на 11:

$\frac{2^x}{16} = 1$

$2^x = 16$

Представим 16 как степень числа 2:

$16 = 2^4$

Следовательно, $2^x = 2^4$.

Так как основания степеней равны, то и показатели должны быть равны:

$x = 4$

Ответ: $x = 4$.

2) $5^x - 4 \cdot 5^{x-2} = 21$

Решение

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$5^x - 4 \cdot \frac{5^x}{5^2} = 21$

Поскольку $5^2 = 25$, получаем:

$5^x - 4 \cdot \frac{5^x}{25} = 21$

Вынесем $5^x$ за скобки:

$5^x \left(1 - \frac{4}{25}\right) = 21$

Вычислим выражение в скобках:

$1 - \frac{4}{25} = \frac{25}{25} - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

Подставим обратно в уравнение:

$5^x \cdot \frac{21}{25} = 21$

Разделим обе части на 21:

$\frac{5^x}{25} = 1$

$5^x = 25$

Представим 25 как степень числа 5:

$25 = 5^2$

Следовательно, $5^x = 5^2$.

Приравниваем показатели степеней:

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

3) $3 \cdot 2^{x-1} + 2^{x+4} = 35$

Решение

Используем свойства степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$3 \cdot \frac{2^x}{2^1} + 2^x \cdot 2^4 = 35$

Поскольку $2^1 = 2$ и $2^4 = 16$, уравнение принимает вид:

$\frac{3}{2} \cdot 2^x + 16 \cdot 2^x = 35$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x \left(\frac{3}{2} + 16\right) = 35$

Вычислим выражение в скобках:

$\frac{3}{2} + 16 = \frac{3}{2} + \frac{32}{2} = \frac{35}{2}$

Подставим в уравнение:

$2^x \cdot \frac{35}{2} = 35$

Разделим обе части на 35:

$\frac{2^x}{2} = 1$

$2^x = 2$

Так как $2 = 2^1$, то $2^x = 2^1$.

Приравниваем показатели степеней:

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

4) $6^{x-1} + 5 \cdot 6^{x-2} = 11$

Решение

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$\frac{6^x}{6^1} + 5 \cdot \frac{6^x}{6^2} = 11$

Поскольку $6^1 = 6$ и $6^2 = 36$, уравнение принимает вид:

$\frac{6^x}{6} + \frac{5 \cdot 6^x}{36} = 11$

Вынесем $6^x$ за скобки:

$6^x \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{36}\right) = 11$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\frac{1}{6} + \frac{5}{36} = \frac{6}{36} + \frac{5}{36} = \frac{11}{36}$

Подставим в уравнение:

$6^x \cdot \frac{11}{36} = 11$

Разделим обе части на 11:

$\frac{6^x}{36} = 1$

$6^x = 36$

Представим 36 как степень числа 6:

$36 = 6^2$

Следовательно, $6^x = 6^2$.

Приравниваем показатели степеней:

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.