Номер 324, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

324.1) $x = 7 - \sqrt{3x+7}$;

2) $\sqrt{15-3x} - x = 1$;

3) $\sqrt{21x+25} - 3x = 5$;

4) $\sqrt{121-12x} = 11 - 3x$.

1) $x = 7 - \sqrt{3x+7}$

Дано: Уравнение $x = 7 - \sqrt{3x+7}$.

Найти: $x$.

Решение:

Перенесем слагаемое с корнем в левую часть уравнения, а $x$ в правую, чтобы уединить радикал:

$\sqrt{3x+7} = 7 - x$

Для решения иррационального уравнения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной. Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x+7 \ge 0 \\ 7-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -7 \\ -x \ge -7 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7/3 \\ x \le 7 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ для $x$ является промежуток $[-7/3, 7]$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{3x+7} = 7 - x$ в квадрат:

$(\sqrt{3x+7})^2 = (7 - x)^2$

$3x + 7 = 49 - 14x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 14x - 3x + 49 - 7 = 0$

$x^2 - 17x + 42 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $17$, а их произведение равно $42$. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 14$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [-7/3, 7]$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию, так как $-7/3 \le 3 \le 7$.
Корень $x_2 = 14$ не удовлетворяет условию, так как $14 > 7$, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $3$.

2) $\sqrt{15-3x} - x = 1$

Дано: Уравнение $\sqrt{15-3x} - x = 1$.

Найти: $x$.

Решение:

Изолируем радикал в левой части уравнения:

$\sqrt{15-3x} = x + 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение и правая часть должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 15-3x \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} -3x \ge -15 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 5 \\ x \ge -1 \end{cases}$

ОДЗ для $x$ является промежуток $[-1, 5]$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{15-3x} = x + 1$ в квадрат:

$(\sqrt{15-3x})^2 = (x+1)^2$

$15 - 3x = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + 3x + 1 - 15 = 0$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета: сумма корней равна $-5$, произведение равно $-14$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in [-1, 5]$).
Корень $x_1 = 2$ принадлежит ОДЗ, так как $-1 \le 2 \le 5$.
Корень $x_2 = -7$ не принадлежит ОДЗ, так как $-7 < -1$. Это посторонний корень.

Ответ: $2$.

3) $\sqrt{21x+25} - 3x = 5$

Дано: Уравнение $\sqrt{21x+25} - 3x = 5$.

Найти: $x$.

Решение:

Уединим квадратный корень в левой части:

$\sqrt{21x+25} = 5 + 3x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} 21x+25 \ge 0 \\ 5+3x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 21x \ge -25 \\ 3x \ge -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -25/21 \\ x \ge -5/3 \end{cases}$

Поскольку $-25/21 \approx -1.19$ и $-5/3 \approx -1.67$, то $-25/21 > -5/3$. Следовательно, общее решение системы неравенств: $x \ge -25/21$.

ОДЗ: $x \in [-25/21, +\infty)$.

Возведем в квадрат обе части уравнения $\sqrt{21x+25} = 5 + 3x$:

$(\sqrt{21x+25})^2 = (5+3x)^2$

$21x + 25 = 25 + 30x + 9x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$9x^2 + 30x - 21x + 25 - 25 = 0$

$9x^2 + 9x = 0$

Вынесем общий множитель $9x$ за скобки: $9x(x + 1) = 0$. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ ($x \in [-25/21, +\infty)$).
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 > -25/21$).
Корень $x_2 = -1$ также удовлетворяет ОДЗ ($-1 > -25/21$).
Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-1; 0$.

4) $\sqrt{121-12x} = 11 - 3x$

Дано: Уравнение $\sqrt{121-12x} = 11 - 3x$.

Найти: $x$.

Решение:

Квадратный корень уже уединен. Определим ОДЗ:

$\begin{cases} 121-12x \ge 0 \\ 11-3x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} -12x \ge -121 \\ -3x \ge -11 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 121/12 \\ x \le 11/3 \end{cases}$

Сравним дроби $121/12 \approx 10.08$ и $11/3 \approx 3.67$. Так как $11/3 < 121/12$, система неравенств эквивалентна одному более сильному неравенству $x \le 11/3$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 11/3]$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{121-12x})^2 = (11 - 3x)^2$

$121 - 12x = 121 - 66x + 9x^2$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$9x^2 - 66x + 12x + 121 - 121 = 0$

$9x^2 - 54x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $9x$: $9x(x - 6) = 0$. Отсюда находим два возможных корня:

$x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \in (-\infty, 11/3]$).
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \le 11/3$.
Корень $x_2 = 6$ не удовлетворяет условию, так как $6 > 11/3$. Следовательно, $x=6$ — посторонний корень.

Ответ: $0$.