Номер 318, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

318. Докажите тождество:

1) $\sqrt{97 - 56\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3}$;

2) $\sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}} = 1 - \sqrt{5}$;

3) $\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{21+12\sqrt{3}}}$;

4) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}.$

1)Решение: Чтобы доказать тождество $\sqrt{97 - 56\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3}$, мы возведем правую часть в квадрат и сравним с подкоренным выражением левой части. Во-первых, необходимо убедиться, что выражение в правой части неотрицательно, поскольку арифметический квадратный корень по определению является неотрицательным числом. Сравним $7$ и $4\sqrt{3}$. Для этого сравним их квадраты: $7^2 = 49$. $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Поскольку $49 > 48$, то $7 > 4\sqrt{3}$, и, следовательно, $7 - 4\sqrt{3} > 0$. Теперь возведем правую часть в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(7 - 4\sqrt{3})^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4\sqrt{3} + (4\sqrt{3})^2 = 49 - 56\sqrt{3} + 48 = 97 - 56\sqrt{3}$. Результат совпадает с выражением под корнем в левой части. Таким образом, $\sqrt{97 - 56\sqrt{3}} = \sqrt{(7 - 4\sqrt{3})^2} = |7 - 4\sqrt{3}| = 7 - 4\sqrt{3}$. Тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

2)Решение: Для доказательства тождества $\sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}} = 1 - \sqrt{5}$ возведем правую часть в куб и проверим, совпадет ли результат с подкоренным выражением в левой части. Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$: $(1 - \sqrt{5})^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{5} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{5})^3$ $= 1 - 3\sqrt{5} + 3 \cdot 5 - 5\sqrt{5}$ $= 1 - 3\sqrt{5} + 15 - 5\sqrt{5}$ $= (1+15) + (-3\sqrt{5} - 5\sqrt{5})$ $= 16 - 8\sqrt{5}$. Полученное выражение в точности равно подкоренному выражению в левой части. Следовательно, тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

3)Решение: Для доказательства тождества $\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{21+12\sqrt{3}}}$ преобразуем обе части уравнения к более простому виду. Сначала упростим левую часть: $\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Теперь преобразуем правую часть. Упростим знаменатель $\sqrt{21+12\sqrt{3}}$. Попытаемся представить подкоренное выражение как полный квадрат $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. $21+12\sqrt{3} = 9 + 12\sqrt{3} + 12 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot (2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = (3+2\sqrt{3})^2$. Тогда $\sqrt{21+12\sqrt{3}} = \sqrt{(3+2\sqrt{3})^2} = 3+2\sqrt{3}$. Правая часть принимает вид: $\frac{2+\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}$. Чтобы упростить это выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3-2\sqrt{3})$: $\frac{(2+\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})} = \frac{2 \cdot 3 - 2 \cdot 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2(\sqrt{3})^2}{3^2-(2\sqrt{3})^2} = \frac{6-4\sqrt{3}+3\sqrt{3}-6}{9-12} = \frac{-\sqrt{3}}{-3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Так как левая и правая части равны $\frac{\sqrt{3}}{3}$, тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

4)Решение: Для доказательства тождества $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}$ сначала упростим левую часть, а затем возведем ее в куб. Упростим левую часть, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2-1^2} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$. Теперь левая часть тождества имеет вид $2-\sqrt{3}$. Возведем это выражение в куб: $(2-\sqrt{3})^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^3$ $= 8 - 3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + 6 \cdot 3 - 3\sqrt{3}$ $= 8 - 12\sqrt{3} + 18 - 3\sqrt{3}$ $= (8+18) + (-12\sqrt{3}-3\sqrt{3})$ $= 26-15\sqrt{3}$. Результат совпадает с подкоренным выражением в правой части. Это означает, что $2-\sqrt{3}$ является кубическим корнем из $26-15\sqrt{3}$. Поскольку мы показали, что $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = 2-\sqrt{3}$, тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.