Номер 320, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Докажите тождества (320-322):

320.1) $\frac{a^{3} b - a b^{3}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - ab = 0;$

2) $\frac{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} - \sqrt{mn} = m + n;$

3) $\frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}}{a+1} + \frac{a^{-\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1} - (a-7)^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{a}} - 1$, при $a > 7;$

4) $\frac{a-1}{\sqrt[3]{a}-1} - \frac{a+1}{\sqrt[3]{a}+1} + (a+10)^{\circ} = 2\sqrt[3]{a}+1.$

1)

Решение

Преобразуем левую часть тождества. Запишем корни в виде рациональных степеней: $\frac{a^{\frac{4}{3}}b - ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} - ab$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ab$: $a^{\frac{4}{3}}b - ab^{\frac{4}{3}} = ab(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})$.

Подставим числитель обратно в дробь и сократим ее (при условии, что $a \neq b$):

$\frac{ab(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = ab$.

Теперь все выражение принимает вид: $ab - ab = 0$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $0=0$, тождество доказано.

2)

Решение

Преобразуем левую часть тождества $\frac{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} - \sqrt{mn}$. Область допустимых значений: $m \ge 0, n \ge 0, m \ne n$.

Представим числитель дроби $m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}$ как разность кубов $(m^{\frac{1}{2}})^3 - (n^{\frac{1}{2}})^3$.

Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$(m^{\frac{1}{2}})^3 - (n^{\frac{1}{2}})^3 = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) ( (m^{\frac{1}{2}})^2 + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2 ) = ( \sqrt{m} - \sqrt{n} ) (m + \sqrt{mn} + n)$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{( \sqrt{m} - \sqrt{n} ) (m + \sqrt{mn} + n)}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} = m + \sqrt{mn} + n$.

Теперь вернемся к исходному выражению: $(m + \sqrt{mn} + n) - \sqrt{mn} = m + n$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $m+n=m+n$, тождество доказано.

3)

Решение

Преобразуем левую часть $\frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}}{a+1} + \frac{a^{-\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{1}{2}}+1} - (a-7)^0$. Условие $a > 7$ гарантирует, что $a>0$ и $a-7 \ne 0$, поэтому $(a-7)^0=1$.

Упростим первую дробь. Преобразуем числитель: $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a+1}{a^{\frac{1}{2}}}$.

Тогда первая дробь равна: $\frac{\frac{a+1}{a^{\frac{1}{2}}}}{a+1} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$.

Упростим вторую дробь. Преобразуем числитель: $a^{-\frac{1}{2}} + 1 = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} + 1 = \frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$.

Тогда вторая дробь равна: $\frac{\frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}}{a^{\frac{1}{2}}+1} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$.

Подставим упрощенные дроби в левую часть: $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} - 1 = \frac{2}{a^{\frac{1}{2}}} - 1 = \frac{2}{\sqrt{a}} - 1$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{2}{\sqrt{a}} - 1 = \frac{2}{\sqrt{a}} - 1$, тождество доказано.

4)

Решение

Преобразуем левую часть $\frac{a-1}{\sqrt[3]{a}-1} - \frac{a+1}{\sqrt[3]{a}+1} + (a+10)^0$. ОДЗ: $a \ne \pm 1, a \ne -10$.

Так как $a+10 \ne 0$, то $(a+10)^0 = 1$.

Упростим первую дробь, используя формулу разности кубов $a-1=(\sqrt[3]{a}-1)(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}+1)$:

$\frac{a-1}{\sqrt[3]{a}-1} = \frac{(\sqrt[3]{a}-1)(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}+1)}{\sqrt[3]{a}-1} = \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}+1$.

Упростим вторую дробь, используя формулу суммы кубов $a+1=(\sqrt[3]{a}+1)(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1)$:

$\frac{a+1}{\sqrt[3]{a}+1} = \frac{(\sqrt[3]{a}+1)(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1)}{\sqrt[3]{a}+1} = \sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1$.

Подставим результаты в исходное выражение:

$(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}+1) - (\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1) + 1 = \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}+1 - \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}-1 + 1 = 2\sqrt[3]{a} + 1$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $2\sqrt[3]{a} + 1 = 2\sqrt[3]{a} + 1$, тождество доказано.