Номер 326, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

326.1) $ \frac{x+1}{9-x} = \frac{1}{\sqrt{x+3}} $;

2) $ \frac{4-x}{2+\sqrt{x}} = 8-x $;

3) $ \sqrt{x-9}+2 = \sqrt{x-1} $;

4) $ \sqrt{x+5} = 5-\sqrt{x-10} $.

1)

Решение:

Дано уравнение $\frac{x+1}{9-x} = \frac{1}{\sqrt{x}+3}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $9-x \ne 0$, то есть $x \ne 9$. Знаменатель $\sqrt{x}+3$ всегда положителен, так как $\sqrt{x} \ge 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [0, 9) \cup (9, +\infty)$.

Разложим знаменатель левой части по формуле разности квадратов: $9-x = (3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{x+1}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x}+3}$

Поскольку $\sqrt{x}+3 \ne 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $(\sqrt{x}+3)$:

$\frac{x+1}{3-\sqrt{x}} = 1$

Отсюда $x+1 = 3-\sqrt{x}$, при условии что $3-\sqrt{x} \ne 0$, что совпадает с условием $x \ne 9$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x + \sqrt{x} - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $t \ge 0$. Уравнение становится квадратным относительно $t$:

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной: $\sqrt{x} = t_1 = 1$.

Возводим обе части в квадрат: $x = 1$.

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$.

2)

Решение:

Дано уравнение $\frac{4-x}{2+\sqrt{x}} = 8-x$.

ОДЗ: $x \ge 0$. Знаменатель $2+\sqrt{x}$ всегда положителен.

Разложим числитель левой части по формуле разности квадратов: $4-x = (2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}{2+\sqrt{x}} = 8-x$

Сокращаем дробь на $(2+\sqrt{x})$:

$2-\sqrt{x} = 8-x$

Перегруппируем члены, чтобы выделить $\sqrt{x}$:

$x - 6 = \sqrt{x}$

Для того чтобы можно было возвести обе части в квадрат, необходимо, чтобы левая часть была неотрицательной (так как правая часть $\sqrt{x} \ge 0$). То есть $x-6 \ge 0$, откуда $x \ge 6$. Это условие более сильное, чем ОДЗ ($x \ge 0$).

Возводим обе части уравнения $x-6=\sqrt{x}$ в квадрат:

$(x-6)^2 = x$

$x^2 - 12x + 36 = x$

$x^2 - 13x + 36 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = 9$.

Проверяем корни по условию $x \ge 6$.

Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $x \ge 6$, поэтому он является посторонним.

Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $x \ge 6$.

Выполним проверку для $x=9$ в исходном уравнении: $\frac{4-9}{2+\sqrt{9}} = \frac{-5}{2+3} = -1$. Правая часть: $8-9=-1$. Равенство верно.

Ответ: $9$.

3)

Решение:

Дано уравнение $\sqrt{x-9} + 2 = \sqrt{x-1}$.

ОДЗ: $x-9 \ge 0 \implies x \ge 9$ и $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Объединяя условия, получаем $x \ge 9$.

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x-9} + 2)^2 = (\sqrt{x-1})^2$

$(x-9) + 4\sqrt{x-9} + 4 = x-1$

$x-5 + 4\sqrt{x-9} = x-1$

Упростим, вычитая $x$ из обеих частей:

$-5 + 4\sqrt{x-9} = -1$

$4\sqrt{x-9} = 4$

$\sqrt{x-9} = 1$

Возводим обе части в квадрат еще раз:

$x-9 = 1$

$x=10$

Корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ ($10 \ge 9$).

Проверка: $\sqrt{10-9} + 2 = \sqrt{1} + 2 = 1+2=3$. Правая часть: $\sqrt{10-1} = \sqrt{9} = 3$. Равенство верно.

Ответ: $10$.

4)

Решение:

Дано уравнение $\sqrt{x+5} = 5 - \sqrt{x-10}$.

ОДЗ: $x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$ и $x-10 \ge 0 \implies x \ge 10$. Объединяя условия, получаем $x \ge 10$.

Для возведения в квадрат обе части уравнения должны быть неотрицательны. Левая часть $\sqrt{x+5} \ge 0$. Правая часть также должна быть неотрицательной: $5 - \sqrt{x-10} \ge 0$.

$5 \ge \sqrt{x-10}$

Так как обе части этого неравенства неотрицательны, возводим в квадрат:

$25 \ge x-10$

$35 \ge x$ или $x \le 35$.

Таким образом, корень должен лежать в диапазоне $10 \le x \le 35$.

Теперь возводим обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+5})^2 = (5 - \sqrt{x-10})^2$

$x+5 = 25 - 10\sqrt{x-10} + (x-10)$

$x+5 = 15 + x - 10\sqrt{x-10}$

Вычитаем $x$ из обеих частей:

$5 = 15 - 10\sqrt{x-10}$

$10\sqrt{x-10} = 15 - 5$

$10\sqrt{x-10} = 10$

$\sqrt{x-10} = 1$

Возводим в квадрат:

$x-10 = 1$

$x = 11$

Корень $x=11$ удовлетворяет условию $10 \le x \le 35$.

Проверка: $\sqrt{11+5} = \sqrt{16} = 4$. Правая часть: $5 - \sqrt{11-10} = 5 - \sqrt{1} = 5-1=4$. Равенство верно.

Ответ: $11$.