Номер 331, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

331. 1) $7^{x+1} - 2 \cdot 7^{x-2} = 341;$

2) $3 \cdot 11^{x+1} - 2 \cdot 11^{x-1} = 361;$

3) $2^{x-1} + 3 \cdot 2^{x-2} + 5 \cdot 2^{x-3} = 15;$

4) $7 \cdot 3^{x-2} - 3^{x-1} + 5 \cdot 3^x = 49.$

1) $7^{x+1} - 2 \cdot 7^{x-2} = 341$

Для решения данного показательного уравнения воспользуемся свойствами степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

Преобразуем каждый член уравнения:

$7^{x+1} = 7^x \cdot 7^1 = 7 \cdot 7^x$

$7^{x-2} = \frac{7^x}{7^2} = \frac{7^x}{49}$

Подставим преобразованные выражения обратно в исходное уравнение:

$7 \cdot 7^x - 2 \cdot \frac{7^x}{49} = 341$

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x \left(7 - \frac{2}{49}\right) = 341$

Вычислим значение выражения в скобках:

$7 - \frac{2}{49} = \frac{7 \cdot 49}{49} - \frac{2}{49} = \frac{343 - 2}{49} = \frac{341}{49}$

Теперь уравнение принимает вид:

$7^x \cdot \frac{341}{49} = 341$

Разделим обе части уравнения на $\frac{341}{49}$:

$7^x = 341 \cdot \frac{49}{341}$

$7^x = 49$

Так как $49 = 7^2$, то:

$7^x = 7^2$

Из равенства оснований следует равенство показателей:

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

2) $3 \cdot 11^{x+1} - 2 \cdot 11^{x-1} = 361$

Преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней:

$11^{x+1} = 11^x \cdot 11^1 = 11 \cdot 11^x$

$11^{x-1} = \frac{11^x}{11^1} = \frac{11^x}{11}$

Подставим в уравнение:

$3 \cdot (11 \cdot 11^x) - 2 \cdot \frac{11^x}{11} = 361$

$33 \cdot 11^x - \frac{2}{11} \cdot 11^x = 361$

Вынесем $11^x$ за скобки:

$11^x \left(33 - \frac{2}{11}\right) = 361$

Вычислим значение в скобках:

$33 - \frac{2}{11} = \frac{33 \cdot 11}{11} - \frac{2}{11} = \frac{363 - 2}{11} = \frac{361}{11}$

Подставим полученное значение в уравнение:

$11^x \cdot \frac{361}{11} = 361$

Выразим $11^x$:

$11^x = 361 \cdot \frac{11}{361}$

$11^x = 11$

Поскольку $11 = 11^1$, получаем:

$11^x = 11^1$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

3) $2^{x-1} + 3 \cdot 2^{x-2} + 5 \cdot 2^{x-3} = 15$

Преобразуем все слагаемые так, чтобы выделить множитель $2^x$:

$2^{x-1} = \frac{2^x}{2^1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$

$2^{x-2} = \frac{2^x}{2^2} = \frac{1}{4} \cdot 2^x$

$2^{x-3} = \frac{2^x}{2^3} = \frac{1}{8} \cdot 2^x$

Подставим в уравнение:

$\frac{1}{2} \cdot 2^x + 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2^x + 5 \cdot \frac{1}{8} \cdot 2^x = 15$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8}\right) = 15$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 8 и сложим их:

$\frac{1 \cdot 4}{8} + \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{5}{8} = \frac{4 + 6 + 5}{8} = \frac{15}{8}$

Уравнение примет вид:

$2^x \cdot \frac{15}{8} = 15$

Найдем $2^x$:

$2^x = 15 \cdot \frac{8}{15}$

$2^x = 8$

Представим 8 в виде степени с основанием 2:

$2^x = 2^3$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

4) $7 \cdot 3^{x-2} - 3^{x-1} + 5 \cdot 3^x = 49$

Преобразуем члены уравнения, выделив множитель $3^x$:

$3^{x-2} = \frac{3^x}{3^2} = \frac{3^x}{9}$

$3^{x-1} = \frac{3^x}{3^1} = \frac{3^x}{3}$

Подставим в уравнение:

$7 \cdot \frac{3^x}{9} - \frac{3^x}{3} + 5 \cdot 3^x = 49$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x \left(\frac{7}{9} - \frac{1}{3} + 5\right) = 49$

Вычислим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю 9:

$\frac{7}{9} - \frac{1 \cdot 3}{9} + \frac{5 \cdot 9}{9} = \frac{7 - 3 + 45}{9} = \frac{49}{9}$

Подставим полученное значение в уравнение:

$3^x \cdot \frac{49}{9} = 49$

Выразим $3^x$:

$3^x = 49 \cdot \frac{9}{49}$

$3^x = 9$

Так как $9 = 3^2$, то:

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.