Номер 335, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

335.1)

1) $log_5 (2x + 3) + log_5 (4 - x) = 1;$

2) $log_7 (3x - 17) - log_7 (x + 1) = 0;$

3) $log_2 (2x - 1) + log_2 (x + 3) = 2;$

4) $log_{\frac{1}{4}} (4x + 5) = log_{\frac{1}{4}} (5x + 2).$

1) $\log_5(2x + 3) + \log_5(4 - x) = 1$

Решение:

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x > -3 \\ x < 4 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -1.5 \\ x < 4 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1.5; 4)$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:
$\log_5((2x + 3)(4 - x)) = 1$

По определению логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$:
$(2x + 3)(4 - x) = 5^1$
$8x - 2x^2 + 12 - 3x = 5$
$-2x^2 + 5x + 12 - 5 = 0$
$-2x^2 + 5x + 7 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$2x^2 - 5x - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3.5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ $x \in (-1.5; 4)$.
$x_1 = 3.5$: $3.5 \in (-1.5; 4)$ — корень подходит.
$x_2 = -1$: $-1 \in (-1.5; 4)$ — корень подходит.

Ответ: -1; 3.5.

2) $\log_7(3x - 17) - \log_7(x + 1) = 0$

Решение:

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x - 17 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x > 17 \\ x > -1 \end{cases}$
$\begin{cases} x > \frac{17}{3} \\ x > -1 \end{cases}$
Так как $\frac{17}{3} \approx 5.67$, то ОДЗ: $x > \frac{17}{3}$.

Перенесем второй логарифм в правую часть:
$\log_7(3x - 17) = \log_7(x + 1)$

Так как основания логарифмов равны, то можем приравнять их аргументы:
$3x - 17 = x + 1$
$3x - x = 1 + 17$
$2x = 18$
$x = 9$

Проверим корень на принадлежность ОДЗ $x > \frac{17}{3}$.
$x=9$: $9 > \frac{17}{3}$ (т.к. $9 > 5.67$) — корень подходит.

Ответ: 9.

3) $\log_2(2x - 1) + \log_2(x + 3) = 2$

Решение:

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x > 1 \\ x > -3 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 0.5 \\ x > -3 \end{cases}$
ОДЗ: $x > 0.5$.

Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_2((2x - 1)(x + 3)) = 2$

По определению логарифма:
$(2x - 1)(x + 3) = 2^2$
$2x^2 + 6x - x - 3 = 4$
$2x^2 + 5x - 3 - 4 = 0$
$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$
$x_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x > 0.5$.
$x_1 = 1$: $1 > 0.5$ — корень подходит.
$x_2 = -3.5$: $-3.5 \ngtr 0.5$ — корень не подходит (посторонний).

Ответ: 1.

4) $\log_{\frac{1}{4}}(4x + 5) = \log_{\frac{1}{4}}(5x + 2)$

Решение:

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 4x + 5 > 0 \\ 5x + 2 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x > -5 \\ 5x > -2 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -\frac{5}{4} \\ x > -\frac{2}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} x > -1.25 \\ x > -0.4 \end{cases}$
ОДЗ: $x > -0.4$.

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$4x + 5 = 5x + 2$
$5 - 2 = 5x - 4x$
$x = 3$

Проверим корень на принадлежность ОДЗ $x > -0.4$.
$x=3$: $3 > -0.4$ — корень подходит.

Ответ: 3.