Номер 342, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

342.1)

$3^{1 + \log_3(x + 2y)} = 6x,$

$3^{x^2 - 2y} = 9^{0.5x};$

2)

$3^x \cdot 3^y = \frac{1}{27},$

$0.1^x \cdot 10^y = 10^{-8}.$

1)

Решение

Преобразуем первое уравнение системы $3^{1 + \log_3(x + 2y)} = 6x$. Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$3^1 \cdot 3^{\log_3(x + 2y)} = 6x$
$3(x + 2y) = 6x$
При этом необходимо учесть область допустимых значений логарифма: $x + 2y > 0$.
Упростим уравнение:
$3x + 6y = 6x$
$6y = 3x$
$x = 2y$

Преобразуем второе уравнение системы $3^{x^2 - 2y} = 9^{0,5x}$. Приведем обе части к основанию 3:
$3^{x^2 - 2y} = (3^2)^{0,5x}$
$3^{x^2 - 2y} = 3^{2 \cdot 0,5x}$
$3^{x^2 - 2y} = 3^x$
Приравнивая показатели степеней, получаем:
$x^2 - 2y = x$

Таким образом, мы получили систему уравнений:
$\begin{cases} x = 2y \\ x^2 - 2y = x\end{cases}$
Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$(2y)^2 - 2y = 2y$
$4y^2 - 4y = 0$
$4y(y - 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ или $y_2 = 1$.

Находим соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 2 \cdot 0 = 0$.
Если $y_2 = 1$, то $x_2 = 2 \cdot 1 = 2$.

Проверим найденные пары по области допустимых значений $x + 2y > 0$.
Для пары $(0, 0)$: $0 + 2 \cdot 0 = 0$. Это значение не удовлетворяет условию $x + 2y > 0$.
Для пары $(2, 1)$: $2 + 2 \cdot 1 = 4 > 0$. Эта пара удовлетворяет условию.
Следовательно, решением системы является пара $(2, 1)$.
Ответ: $(2, 1)$.

2)

Решение

Преобразуем первое уравнение системы $3^x \cdot 3^y = \frac{1}{27}$. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и тот факт, что $\frac{1}{27} = 3^{-3}$, получаем:
$3^{x+y} = 3^{-3}$
Следовательно, $x+y = -3$.

Преобразуем второе уравнение системы $0,1^x \cdot 10^y = 10^{-8}$. Учитывая, что $0,1 = 10^{-1}$, имеем:
$(10^{-1})^x \cdot 10^y = 10^{-8}$
$10^{-x} \cdot 10^y = 10^{-8}$
$10^{-x+y} = 10^{-8}$
Следовательно, $-x+y = -8$.

В результате мы получили систему линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = -3 \\ -x + y = -8\end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$(x+y) + (-x+y) = -3 + (-8)$
$2y = -11$
$y = -\frac{11}{2} = -5,5$

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение $x+y=-3$:
$x + (-5,5) = -3$
$x - 5,5 = -3$
$x = -3 + 5,5$
$x = 2,5$
Решением системы является пара $(2,5; -5,5)$.
Ответ: $(2,5; -5,5)$.