Номер 333, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

333.1)

$4^{x+1} + 4^{1-x} - 10 = 0;$

2)

$3^{1+x} - 2 \cdot 3^{1-x} = 7;$

3)

$4^{\sqrt{x+3}} - 32 = 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}};$

4)

$25^{\sqrt{x+2}} - 10 = 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}}.$

1)

Решение

Дано показательное уравнение $4^{x+1} + 4^{1-x} - 10 = 0$.
Используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение:
$4^x \cdot 4^1 + \frac{4^1}{4^x} - 10 = 0$
$4 \cdot 4^x + \frac{4}{4^x} - 10 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Так как основание степени $4 > 0$, то $t > 0$.
Получаем уравнение относительно $t$:
$4t + \frac{4}{t} - 10 = 0$
Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:
$4t^2 + 4 - 10t = 0$
$4t^2 - 10t + 4 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$2t^2 - 5t + 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня ($t_1=2$ и $t_2=1/2$) положительны, поэтому оба подходят под условие $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1. Если $t = 2$, то $4^x = 2$.
$(2^2)^x = 2^1$
$2^{2x} = 2^1$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
2. Если $t = \frac{1}{2}$, то $4^x = \frac{1}{2}$.
$(2^2)^x = 2^{-1}$
$2^{2x} = 2^{-1}$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$
Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = \frac{1}{2}; x = -\frac{1}{2}$.

2)

Решение

Дано показательное уравнение $3^{1+x} - 2 \cdot 3^{1-x} = 7$.
Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:
$3^1 \cdot 3^x - 2 \cdot \frac{3^1}{3^x} = 7$
$3 \cdot 3^x - \frac{6}{3^x} = 7$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
Получаем уравнение относительно $t$:
$3t - \frac{6}{t} = 7$
Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):
$3t^2 - 6 = 7t$
$3t^2 - 7t - 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение.
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Так как $t > 0$, корень $t_2 = -2/3$ является посторонним. Используем только $t_1 = 3$.
Вернемся к переменной $x$:
$3^x = 3$
$3^x = 3^1$
$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

3)

Решение

Дано иррационально-показательное уравнение $4^{\sqrt{x+3}} - 32 = 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}}$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Преобразуем уравнение, приведя степени к одному основанию 2:
$(2^2)^{\sqrt{x+3}} - 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}} - 32 = 0$
$(2^{\sqrt{x+3}})^2 - 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}} - 32 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\sqrt{x+3}}$. Так как $\sqrt{x+3} \ge 0$, то $t = 2^{\sqrt{x+3}} \ge 2^0 = 1$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 4t - 32 = 0$
Найдем его корни. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Согласно условию $t \ge 1$, корень $t_2 = -4$ является посторонним. Используем только $t_1 = 8$.
Вернемся к переменной $x$:
$2^{\sqrt{x+3}} = 8$
$2^{\sqrt{x+3}} = 2^3$
$\sqrt{x+3} = 3$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+3})^2 = 3^2$
$x+3 = 9$
$x = 6$
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $6 \ge -3$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 6$.

4)

Решение

Дано иррационально-показательное уравнение $25^{\sqrt{x+2}} - 10 = 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}}$.
ОДЗ: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Приведем степени к основанию 5 и перенесем все члены в одну часть:
$(5^2)^{\sqrt{x+2}} - 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}} - 10 = 0$
$(5^{\sqrt{x+2}})^2 - 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}} - 10 = 0$
Сделаем замену. Пусть $t = 5^{\sqrt{x+2}}$. Так как $\sqrt{x+2} \ge 0$, то $t = 5^{\sqrt{x+2}} \ge 5^0 = 1$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 3t - 10 = 0$
Найдем корни:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Условию $t \ge 1$ удовлетворяет только $t_1 = 5$. Корень $t_2 = -2$ посторонний.
Выполним обратную замену:
$5^{\sqrt{x+2}} = 5$
$5^{\sqrt{x+2}} = 5^1$
$\sqrt{x+2} = 1$
Возведем обе части в квадрат:
$x+2 = 1$
$x = -1$
Проверим корень по ОДЗ: $-1 \ge -2$. Условие выполняется.

Ответ: $x = -1$.