Страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

359.

1) $\frac{x^2 + 3x}{\log_2(x + 1)} \le 0;$

2) $\log_{12} \frac{x^2 + x}{x + 4} \ge 0;$

3) $\frac{2x^2 - 8}{\log_5 x} \ge 0;$

4) $\frac{\log_6(x + 2)}{x^3} \le 0.$

1)

Решение:

Решим неравенство $ \frac{x^2 + 3x}{\log_2(x + 1)} \le 0 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $ x + 1 > 0 \implies x > -1 $.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $ \log_2(x + 1) \ne 0 \implies x + 1 \ne 2^0 \implies x + 1 \ne 1 \implies x \ne 0 $.
Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty) $.

2. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $ x^2 + 3x = 0 \implies x(x + 3) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -3 $.
Нули знаменателя: $ \log_2(x + 1) = 0 \implies x = 0 $.

3. Отметим на числовой оси точки, влияющие на знак выражения, и учтем ОДЗ. Нас интересуют интервалы в пределах ОДЗ: $ (-1, 0) $ и $ (0, +\infty) $.
Рассмотрим знак дроби на каждом интервале:
- При $ x \in (-1, 0) $: числитель $ x(x+3) $ отрицателен (т.к. $ x < 0 $ и $ x+3 > 0 $), знаменатель $ \log_2(x+1) $ отрицатеlen (т.к. $ 0 < x+1 < 1 $). Дробь $ \frac{(-)}{(-)} $ положительна.
- При $ x \in (0, +\infty) $: числитель $ x(x+3) $ положителен (т.к. $ x > 0 $ и $ x+3 > 0 $), знаменатель $ \log_2(x+1) $ положителен (т.к. $ x+1 > 1 $). Дробь $ \frac{(+)}{(+)} $ положительна.
Неравенство является нестрогим, поэтому нужно проверить точки, где числитель равен нулю. Это $ x=0 $ и $ x=-3 $. Ни одна из этих точек не входит в ОДЗ.
Таким образом, на всей области допустимых значений левая часть неравенства строго больше нуля. Решений нет.

Ответ: $ x \in \emptyset $.

2)

Решение:

Решим неравенство $ \log_{12} \frac{x^2+x}{x+4} \ge 0 $.

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$ \frac{x^2+x}{x+4} > 0 \implies \frac{x(x+1)}{x+4} > 0 $.
Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $ x \in (-4, -1) \cup (0, +\infty) $. Это и есть ОДЗ.

2. Так как основание логарифма $ 12 > 1 $, логарифмическая функция возрастающая. Поэтому исходное неравенство равносильно следующему (с учетом ОДЗ):
$ \frac{x^2+x}{x+4} \ge 12^0 $
$ \frac{x^2+x}{x+4} \ge 1 $
$ \frac{x^2+x}{x+4} - 1 \ge 0 $
$ \frac{x^2+x - (x+4)}{x+4} \ge 0 $
$ \frac{x^2-4}{x+4} \ge 0 $
$ \frac{(x-2)(x+2)}{x+4} \ge 0 $.

3. Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.
Нули числителя: $ x=2, x=-2 $. Нуль знаменателя: $ x=-4 $.
Отмечаем точки на числовой оси и определяем знаки:
- При $ x > 2 $: $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $. Интервал подходит.
- При $ -2 < x < 2 $: $ \frac{(-)(+)}{(+)} < 0 $. Интервал не подходит.
- При $ -4 < x < -2 $: $ \frac{(-)(-)}{(+)} > 0 $. Интервал подходит.
Учитывая знак $ \ge $, включаем нули числителя: $ x=2, x=-2 $.
Решение рационального неравенства: $ x \in (-4, -2] \cup [2, +\infty) $.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $ x \in (-4, -1) \cup (0, +\infty) $.
$ ((-4, -2] \cup [2, +\infty)) \cap ((-4, -1) \cup (0, +\infty)) = (-4, -2] \cup [2, +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-4, -2] \cup [2, \infty) $.

3)

Решение:

Решим неравенство $ \frac{2x^2-8}{\log_5 x} \ge 0 $.

1. Найдем ОДЗ.
Аргумент логарифма: $ x > 0 $.
Знаменатель: $ \log_5 x \ne 0 \implies x \ne 1 $.
ОДЗ: $ x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) $.

2. Применим метод рационализации. Знак $ \log_5 x $ на ОДЗ совпадает со знаком выражения $ (5-1)(x-1) $, то есть $ x-1 $.
Исходное неравенство на ОДЗ равносильно:
$ (2x^2-8)(x-1) \ge 0 $
$ 2(x^2-4)(x-1) \ge 0 $
$ (x-2)(x+2)(x-1) \ge 0 $.

3. Решим полученное неравенство методом интервалов.
Нули: $ x=2, x=-2, x=1 $.
- При $ x \in (2, \infty) $: $ (+)(+)(+) > 0 $. Интервал подходит.
- При $ x \in (1, 2) $: $ (-)(+)(+) < 0 $. Интервал не подходит.
- При $ x \in (-2, 1) $: $ (-)(+)(-) > 0 $. Интервал подходит.
- При $ x \in (-\infty, -2) $: $ (-)(-)(-) < 0 $. Интервал не подходит.
Учитывая знак $ \ge $, включаем нули: $ x=2, x=1, x=-2 $.
Решение этого неравенства: $ x \in [-2, 1] \cup [2, \infty) $.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $ x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) $.
$ ([-2, 1] \cup [2, \infty)) \cap ((0, 1) \cup (1, +\infty)) = (0, 1) \cup [2, \infty) $.

Ответ: $ x \in (0, 1) \cup [2, \infty) $.

4)

Решение:

Решим неравенство $ \frac{\log_6(x+2)}{x^3} \le 0 $.

1. Найдем ОДЗ.
Аргумент логарифма: $ x+2 > 0 \implies x > -2 $.
Знаменатель: $ x^3 \ne 0 \implies x \ne 0 $.
ОДЗ: $ x \in (-2, 0) \cup (0, +\infty) $.

2. Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ \log_6(x+2) = 0 \implies x+2 = 6^0 \implies x+2 = 1 \implies x = -1 $.
Нуль знаменателя: $ x^3 = 0 \implies x = 0 $.

3. Отметим точки $ -1 $ и $ 0 $ на числовой оси и учтем ОДЗ $ x > -2 $.
Рассмотрим знаки на интервалах, входящих в ОДЗ:
- При $ x \in (-2, -1) $: числитель $ \log_6(x+2) < 0 $ (т.к. $ 0 < x+2 < 1 $), знаменатель $ x^3 < 0 $. Дробь $ \frac{(-)}{(-)} > 0 $. Интервал не подходит.
- При $ x \in (-1, 0) $: числитель $ \log_6(x+2) > 0 $ (т.к. $ x+2 > 1 $), знаменатель $ x^3 < 0 $. Дробь $ \frac{(+)}{(-)} < 0 $. Интервал подходит.
- При $ x \in (0, +\infty) $: числитель $ \log_6(x+2) > 0 $ (т.к. $ x+2 > 2 $), знаменатель $ x^3 > 0 $. Дробь $ \frac{(+)}{(+)} > 0 $. Интервал не подходит.

4. Неравенство нестрогое ($ \le 0 $), поэтому нужно включить в решение точку, где числитель равен нулю, если она входит в ОДЗ.
$ x = -1 $ входит в ОДЗ. Значит, $ x=-1 $ является решением.
Объединяя интервал и точку, получаем решение: $ x \in [-1, 0) $.

Ответ: $ x \in [-1, 0) $.

360. 1) $log_{1/2} \frac{x^2+3}{x+3} < -1;$

2) $log_2 \frac{x^2-4}{x+10} > 1;$

3) $log_3 x + log_3 (x-1) > log_3 x + 1;$

4) $log_{0,1} (x-2) + 1 \leq log_{0,1} 0,3 - log_{0,1} x.$

1)

Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2+3}{x+3} < -1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$\frac{x^2+3}{x+3} > 0$

Числитель $x^2+3$ всегда положителен при любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$ и, следовательно, $x^2+3 \ge 3$. Таким образом, знак дроби определяется знаком знаменателя:

$x+3 > 0 \implies x > -3$.

ОДЗ: $x \in (-3; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$:

$-1 = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-1}) = \log_{\frac{1}{2}} 2$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2+3}{x+3} < \log_{\frac{1}{2}} 2$.

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x^2+3}{x+3} > 2$

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2+3}{x+3} - 2 > 0$

$\frac{x^2+3 - 2(x+3)}{x+3} > 0$

$\frac{x^2+3 - 2x - 6}{x+3} > 0$

$\frac{x^2 - 2x - 3}{x+3} > 0$

Разложим числитель на множители. Корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

$\frac{(x-3)(x+1)}{x+3} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки $x=-3, x=-1, x=3$. Эти точки разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения в каждом интервале:

Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение положительно: $x \in (-3; -1) \cup (3; +\infty)$.

Совместим полученное решение с ОДЗ ($x > -3$). Пересечением множеств является $x \in (-3; -1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; -1) \cup (3; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $\log_{2} \frac{x^2-4}{x+10} > 1$.

ОДЗ: $\frac{x^2-4}{x+10} > 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x-2)(x+2)}{x+10} > 0$.

Решим методом интервалов. Корни: $x=2, x=-2, x=-10$.

ОДЗ: $x \in (-10; -2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь решаем неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 2: $1 = \log_2 2$.

$\log_{2} \frac{x^2-4}{x+10} > \log_2 2$.

Так как основание логарифма $a=2 > 1$, функция возрастающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$\frac{x^2-4}{x+10} > 2$

$\frac{x^2-4}{x+10} - 2 > 0$

$\frac{x^2-4 - 2(x+10)}{x+10} > 0$

$\frac{x^2-4 - 2x - 20}{x+10} > 0$

$\frac{x^2 - 2x - 24}{x+10} > 0$

Найдем корни числителя $x^2 - 2x - 24 = 0$. Корни: $x_1=6, x_2=-4$.

$\frac{(x-6)(x+4)}{x+10} > 0$

Решим методом интервалов. Корни: $x=6, x=-4, x=-10$.

Решение: $x \in (-10; -4) \cup (6; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-10; -2) \cup (2; +\infty)$.

Пересечение интервалов $(-10; -4)$ и $(-10; -2)$ дает $(-10; -4)$.

Пересечение интервалов $(6; +\infty)$ и $(2; +\infty)$ дает $(6; +\infty)$.

Итоговое решение: $x \in (-10; -4) \cup (6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-10; -4) \cup (6; +\infty)$.

3)

Решим неравенство $\log_3 x + \log_3(x-1) > \log_3 x + 1$.

ОДЗ: аргументы всех логарифмов должны быть положительными.

$\begin{cases} x > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$.

ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Упростим исходное неравенство. Можно вычесть $\log_3 x$ из обеих частей:

$\log_3(x-1) > 1$.

Представим 1 как логарифм по основанию 3: $1 = \log_3 3$.

$\log_3(x-1) > \log_3 3$.

Так как основание логарифма $a=3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$x-1 > 3$

$x > 4$.

Совместим решение $x > 4$ с ОДЗ $x > 1$. Пересечением является $x > 4$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

4)

Решим неравенство $\log_{0,1}(x-2) + 1 \le \log_{0,1} 0,3 - \log_{0,1} x$.

ОДЗ:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 2$.

ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

Преобразуем неравенство. Перенесем все логарифмы в левую часть, а константу в правую:

$\log_{0,1}(x-2) + \log_{0,1} x \le \log_{0,1} 0,3 - 1$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_{0,1}(x(x-2)) \le \log_{0,1} 0,3 - 1$.

Представим -1 как логарифм по основанию 0,1: $-1 = \log_{0,1} (0,1^{-1}) = \log_{0,1} 10$.

$\log_{0,1}(x(x-2)) \le \log_{0,1} 0,3 + \log_{0,1} 10$.

$\log_{0,1}(x^2-2x) \le \log_{0,1}(0,3 \cdot 10)$.

$\log_{0,1}(x^2-2x) \le \log_{0,1} 3$.

Так как основание логарифма $a=0,1$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2-2x \ge 3$.

$x^2-2x-3 \ge 0$.

Корни квадратного уравнения $x^2-2x-3=0$ равны $x_1=3, x_2=-1$.

Неравенство можно записать в виде $(x-3)(x+1) \ge 0$.

Это парабола с ветвями вверх, она принимает неотрицательные значения при $x \le -1$ или $x \ge 3$.

Решение: $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x > 2$).

Пересечение $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$ и $x \in (2; +\infty)$ дает $x \in [3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

361.

1) $\log_{\frac{1}{4}} \sin 2x \le \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2};$

2) $\log_{13} \sin x + \log_{13} \cos x > \log_{13} \frac{1}{4};$

3) $\log_{0,9} (2\cos 4x) > \log_{0,9} \sqrt{3};$

4) $\log_{\frac{4}{5}} \operatorname{tg} x \le 0.$

1) $ \log_{\frac{1}{4}} \sin(2x) \le \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2} $

Решение

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ \sin(2x) > 0 $

Решением этого неравенства являются интервалы $ 2k\pi < 2x < \pi + 2k\pi $, что равносильно $ k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь решим само логарифмическое неравенство. Основание логарифма $ a = \frac{1}{4} $ меньше 1 ($0 < a < 1$), поэтому логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$ \sin(2x) \ge \frac{1}{2} $

Решим полученное тригонометрическое неравенство. На единичной окружности значения синуса, которые больше или равны $ \frac{1}{2} $, соответствуют углам в промежутке $ [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}] $ с учетом периодичности.

$ \frac{\pi}{6} + 2n\pi \le 2x \le \frac{5\pi}{6} + 2n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Разделив все части неравенства на 2, получаем:

$ \frac{\pi}{12} + n\pi \le x \le \frac{5\pi}{12} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Наконец, найдем пересечение полученного решения с ОДЗ.

ОДЗ: $ x \in (k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi) $, что то же самое, что и $ x \in (k\pi, \frac{6\pi}{12} + k\pi) $.

Решение: $ x \in [\frac{\pi}{12} + n\pi, \frac{5\pi}{12} + n\pi] $.

Поскольку $ k\pi < \frac{\pi}{12} + k\pi $ и $ \frac{5\pi}{12} + k\pi < \frac{6\pi}{12} + k\pi $, интервал решения полностью содержится в области допустимых значений. Таким образом, пересечение совпадает с найденным решением.

Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{12} + k\pi, \frac{5\pi}{12} + k\pi], k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \log_{13} \sin x + \log_{13} \cos x > \log_{13} \frac{1}{4} $

Решение

ОДЗ неравенства определяется условиями $ \sin x > 0 $ и $ \cos x > 0 $. Оба этих условия выполняются одновременно, когда угол $x$ находится в первой координатной четверти:

$ 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $, преобразуем левую часть неравенства:

$ \log_{13} (\sin x \cdot \cos x) > \log_{13} \frac{1}{4} $

Основание логарифма $ a = 13 $ больше 1, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$ \sin x \cos x > \frac{1}{4} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $:

$ \frac{1}{2} \sin(2x) > \frac{1}{4} $

$ \sin(2x) > \frac{1}{2} $

Решением этого тригонометрического неравенства является интервал:

$ \frac{\pi}{6} + 2n\pi < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Разделим на 2:

$ \frac{\pi}{12} + n\pi < x < \frac{5\pi}{12} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $ x \in (2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi) $.

Если $n$ четное (т.е., $n=2k$), то интервал решения $ (\frac{\pi}{12} + 2k\pi, \frac{5\pi}{12} + 2k\pi) $ полностью содержится в интервале ОДЗ $ (2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi) $.

Если $n$ нечетное (т.е., $n=2k+1$), то интервал решения $ (\frac{13\pi}{12} + 2k\pi, \frac{17\pi}{12} + 2k\pi) $ соответствует третьей четверти и не имеет пересечения с ОДЗ (первая четверть).

Следовательно, итоговое решение соответствует только случаю с четным $n=2k$.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{12} + 2k\pi, \frac{5\pi}{12} + 2k\pi), k \in \mathbb{Z} $.

3) $ \log_{0.9} (2\cos(4x)) > \log_{0.9} \sqrt{3} $

Решение

ОДЗ: $ 2\cos(4x) > 0 $, что равносильно $ \cos(4x) > 0 $.

Это условие выполняется, когда аргумент косинуса $4x$ находится в интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ с учетом периодичности:

$ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Перейдем к решению самого неравенства. Основание логарифма $ a = 0.9 $ находится в интервале $ (0, 1) $, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$ 2\cos(4x) < \sqrt{3} \implies \cos(4x) < \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Объединяя это неравенство с ОДЗ, получаем систему, которую можно записать как двойное неравенство:

$ 0 < \cos(4x) < \frac{\sqrt{3}}{2} $

Пусть $ t = 4x $. Нам нужно найти такие значения $t$, для которых $ 0 < \cos(t) < \frac{\sqrt{3}}{2} $. На единичной окружности это соответствует двум интервалам в пределах одного оборота:

1. Для $ t $ в первой четверти: $ \frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{2} $.

2. Для $ t $ в четвертой четверти: $ -\frac{\pi}{2} < t < -\frac{\pi}{6} $.

Добавим периодичность $ 2k\pi $ для обоих интервалов:

$ \frac{\pi}{6} + 2k\pi < t < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{2} + 2k\pi < t < -\frac{\pi}{6} + 2k\pi $.

Теперь подставим обратно $ t = 4x $ и разделим все части неравенств на 4:

$ \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} $.

Объединение этих двух семейств интервалов является решением.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}, \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}), k \in \mathbb{Z} $.

4) $ \log_{\frac{4}{5}} \tg x \le 0 $

Решение

ОДЗ: $ \tg x > 0 $. Тангенс положителен в первой и третьей координатных четвертях, что соответствует интервалам:

$ k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $ 0 = \log_{\frac{4}{5}} 1 $. Неравенство принимает вид:

$ \log_{\frac{4}{5}} \tg x \le \log_{\frac{4}{5}} 1 $

Основание логарифма $ a = \frac{4}{5} $ находится в интервале $ (0, 1) $, поэтому функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ \tg x \ge 1 $

Решим это тригонометрическое неравенство. Функция $ y = \tg x $ возрастает на каждом из своих интервалов определения. Уравнение $ \tg x = 1 $ имеет решения $ x = \frac{\pi}{4} + k\pi $. Следовательно, неравенство $ \tg x \ge 1 $ выполняется от этого значения до ближайшей правой вертикальной асимптоты $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $:

$ \frac{\pi}{4} + k\pi \le x < \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Сравним полученное решение с ОДЗ. Интервал решения $ [\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi) $ является подмножеством интервала ОДЗ $ (k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi) $, поэтому дополнительно ограничивать решение не требуется.

Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi), k \in \mathbb{Z} $.

Найдите области определения функции $y=f(x)$ (362–363):

362.1) $f(x) = 5 - \sqrt{x+4}$;

2) $f(x) = 8 - \sqrt{4-x}$;

3) $f(x) = \sqrt{x} - \log_2(x+1)$;

4) $f(x) = 6x + \log_7(x^2 - 1)$.

1) $f(x) = 5 - \sqrt{x+4}$

Решение:

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Следовательно, мы должны решить неравенство:

$x + 4 \ge 0$

Перенесем 4 в правую часть неравенства:

$x \ge -4$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные -4. В виде промежутка это записывается как $[-4; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [-4; +\infty)$.

2) $f(x) = 8 - \sqrt{4-x}$

Решение:

Аналогично предыдущему пункту, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$4 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$4 \ge x$, что эквивалентно $x \le 4$.

Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие или равные 4. В виде промежутка это записывается как $(-\infty; 4]$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 4]$.

3) $f(x) = \sqrt{x} - \log_2(x+1)$

Решение:

Данная функция состоит из двух частей, каждая из которых имеет свои ограничения на область определения.

1. Для слагаемого $\sqrt{x}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Для слагаемого $\log_2(x+1)$ выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x + 1 > 0$, откуда $x > -1$.

Область определения всей функции является пересечением областей определения ее частей. Таким образом, необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x > -1 \end{cases}$

Решением этой системы является пересечение промежутков $[0; +\infty)$ и $(-1; +\infty)$, что дает промежуток $[0; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [0; +\infty)$.

4) $f(x) = 6x + \log_7(x^2 - 1)$

Решение:

Слагаемое $6x$ определено для всех действительных чисел. Ограничение на область определения накладывает логарифмическая функция.

Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$x^2 - 1 > 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) > 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 1)(x + 1)$ на каждом интервале. Поскольку ветви параболы $y=x^2-1$ направлены вверх, положительные значения будут за корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < -1$ или $x > 1$.

Область определения функции — это объединение двух интервалов.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

363.1) $f(x) = \log_{0,7} (x^2 - 5x - 6);$

2) $f(x) = \log_5(x - 4) + \log_5x;$

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{6}}(4 - x^2);$

4) $f(x) = \log_7 \frac{x+8}{x} + \lg x.$

1)

Дано:

$f(x) = \log_{0.7}(x^2 - 5x - 6)$

Найти:

Область определения функции $D(f)$.

Решение:

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(g(x))$ определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $g(x) > 0$.

В данном случае, мы должны решить неравенство:

$x^2 - 5x - 6 > 0$

Это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$.

Используем теорему Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Корнями уравнения являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 5x - 6$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Следовательно, значения функции положительны вне интервала между корнями.

Неравенство $x^2 - 5x - 6 > 0$ выполняется при $x < -1$ или $x > 6$.

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это объединение двух интервалов: $(-\infty, -1) \cup (6, \infty)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, -1) \cup (6, \infty)$.

2)

Дано:

$f(x) = \log_5(x - 4) + \log_5 x$

Найти:

Область определения функции $D(f)$.

Решение:

Область определения функции, представляющей собой сумму двух функций, является пересечением областей определения каждой из этих функций.

Для первого слагаемого, $\log_5(x-4)$, аргумент должен быть положительным:

$x - 4 > 0 \implies x > 4$

Для второго слагаемого, $\log_5 x$, аргумент должен быть положительным:

$x > 0$

Область определения исходной функции — это множество значений $x$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно, то есть решение системы неравенств:

$\begin{cases} x - 4 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 4$.

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это интервал $(4, \infty)$.

Ответ: $D(f) = (4, \infty)$.

3)

Дано:

$f(x) = \log_{\frac{1}{6}}(4 - x^2)$

Найти:

Область определения функции $D(f)$.

Решение:

Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным. Для данной функции это означает:

$4 - x^2 > 0$

Перепишем неравенство в виде:

$x^2 < 4$

Решая это неравенство, получаем:

$|x| < 2$

Что эквивалентно двойному неравенству:

$-2 < x < 2$

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это интервал $(-2, 2)$.

Ответ: $D(f) = (-2, 2)$.

4)

Дано:

$f(x) = \log_7 \frac{x+8}{x} + \lg x$

Найти:

Область определения функции $D(f)$.

Решение:

Область определения функции является пересечением областей определения каждого из слагаемых.

Для первого слагаемого, $\log_7 \frac{x+8}{x}$, аргумент должен быть положительным:

$\frac{x+8}{x} > 0$

Для второго слагаемого, $\lg x$ (десятичный логарифм), аргумент должен быть положительным:

$x > 0$

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x+8}{x} > 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $\frac{x+8}{x} > 0$. Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
- Если $x+8 > 0$ и $x > 0$, то есть $x > -8$ и $x > 0$, что равносильно $x > 0$.
- Если $x+8 < 0$ и $x < 0$, то есть $x < -8$ и $x < 0$, что равносильно $x < -8$.
Таким образом, решением первого неравенства является объединение интервалов $(-\infty, -8) \cup (0, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с решением второго неравенства $x > 0$.

Пересечением множеств $(-\infty, -8) \cup (0, \infty)$ и $(0, \infty)$ является интервал $(0, \infty)$.

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это интервал $(0, \infty)$.

Ответ: $D(f) = (0, \infty)$.

Найдите множества значений функции $y = g(x)$ (364–365):

364.1) $f(x)=2+\sqrt{x}$;

2) $f(x)=-3+\sqrt{x}$;

3) $f(x)=2^x+2$;

4) $f(x)=3+\left(\frac{1}{3}\right)^x$.

364. 1)

Дано:

Функция $f(x) = 2 + \sqrt{x}$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Множество значений функции (область значений) — это совокупность всех значений, которые может принимать зависимая переменная $y=f(x)$.

Данная функция является суммой функции $y_1=\sqrt{x}$ и константы $c=2$.

1. Найдём множество значений функции $y_1=\sqrt{x}$. Область определения этой функции: $x \ge 0$. По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Таким образом, множество значений функции $y_1=\sqrt{x}$ есть промежуток $[0; +\infty)$.

2. Чтобы найти множество значений исходной функции $f(x) = 2 + \sqrt{x}$, нужно к значениям функции $y_1=\sqrt{x}$ прибавить 2. Это соответствует сдвигу графика функции $y_1=\sqrt{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

Исходя из неравенства $\sqrt{x} \ge 0$, прибавим 2 к обеим его частям:

$2 + \sqrt{x} \ge 2 + 0$

$f(x) \ge 2$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие или равные 2.

Ответ: $E(f) = [2; +\infty)$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = -3 + \sqrt{x}$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Данная функция является суммой функции $y_1=\sqrt{x}$ и константы $c=-3$.

1. Множество значений функции $y_1=\sqrt{x}$ есть промежуток $[0; +\infty)$, так как $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$).

2. Чтобы найти множество значений исходной функции $f(x) = -3 + \sqrt{x}$, нужно к значениям функции $y_1=\sqrt{x}$ прибавить -3. Это соответствует сдвигу графика функции $y_1=\sqrt{x}$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат.

Исходя из неравенства $\sqrt{x} \ge 0$, прибавим -3 к обеим его частям:

$-3 + \sqrt{x} \ge -3 + 0$

$f(x) \ge -3$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие или равные -3.

Ответ: $E(f) = [-3; +\infty)$.

3)

Дано:

Функция $f(x) = 2^x + 2$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Данная функция является суммой показательной функции $y_1=2^x$ и константы $c=2$.

1. Найдём множество значений функции $y_1=2^x$. Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Поскольку основание степени $2 > 1$, функция является возрастающей. Значения показательной функции всегда строго положительны, то есть $2^x > 0$. Таким образом, множество значений функции $y_1=2^x$ есть промежуток $(0; +\infty)$.

2. Чтобы найти множество значений исходной функции $f(x) = 2^x + 2$, нужно к значениям функции $y_1=2^x$ прибавить 2. Это соответствует сдвигу графика функции $y_1=2^x$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

Исходя из неравенства $2^x > 0$, прибавим 2 к обеим его частям:

$2^x + 2 > 0 + 2$

$f(x) > 2$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие 2.

Ответ: $E(f) = (2; +\infty)$.

4)

Дано:

Функция $f(x) = 3 + \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Данная функция является суммой показательной функции $y_1=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ и константы $c=3$.

1. Найдём множество значений функции $y_1=\left(\frac{1}{3}\right)^x$. Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей. Значения показательной функции всегда строго положительны, то есть $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 0$. Таким образом, множество значений функции $y_1=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ есть промежуток $(0; +\infty)$.

2. Чтобы найти множество значений исходной функции $f(x) = 3 + \left(\frac{1}{3}\right)^x$, нужно к значениям функции $y_1=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ прибавить 3. Это соответствует сдвигу графика функции $y_1=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

Исходя из неравенства $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 0$, прибавим 3 к обеим его частям:

$3 + \left(\frac{1}{3}\right)^x > 3 + 0$

$f(x) > 3$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие 3.

Ответ: $E(f) = (3; +\infty)$.

365.1) $f(x) = 5^{x+1} - 4$;

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(3 - x)$;

3) $f(x) = \log_2(x - 5)$;

4) $f(x) = \log_5(7 - x)$.

1) $f(x) = 5^{x+1} - 4$

Решение:

Чтобы найти область определения функции, нужно определить, при каких значениях $x$ функция имеет смысл. Данная функция является показательной. Область определения показательной функции $y = a^u$ (где $a > 0$, $a \neq 1$) — это множество всех действительных чисел для аргумента $u$.

В данном случае основание $a=5$ является положительным числом, не равным единице. Показатель степени $u = x+1$ является линейной функцией, которая определена для любых действительных значений $x$. Следовательно, выражение $5^{x+1}$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$.

Вычитание константы 4 не накладывает никаких ограничений на область определения.

Таким образом, область определения функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(3 - x)$

Решение:

Данная функция является логарифмической. Область определения логарифмической функции $y = \log_a(u)$ определяется условием, что выражение под знаком логарифма (аргумент) должно быть строго положительным: $u > 0$.

В нашем случае аргумент логарифма равен $3 - x$. Составим и решим неравенство:

$3 - x > 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства, поменяв знак:

$3 > x$

Что эквивалентно записи:

$x < 3$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, которые меньше 3. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 3)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 3)$.

3) $f(x) = \log_2(x - 5)$

Решение:

Данная функция является логарифмической. По определению логарифма, его аргумент должен быть строго больше нуля. Аргументом в данном случае является выражение $x - 5$.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$x - 5 > 0$

Перенесем -5 в правую часть неравенства, поменяв знак:

$x > 5$

Таким образом, область определения функции состоит из всех действительных чисел, которые больше 5. В виде интервала это записывается как $(5; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (5; +\infty)$.

4) $f(x) = \log_5(7 - x)$

Решение:

Данная функция является логарифмической. Область определения логарифмической функции находится из условия, что ее аргумент должен быть строго положительным. Аргумент данной функции — это выражение $7 - x$.

Составим и решим неравенство:

$7 - x > 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства:

$7 > x$

Или, что то же самое:

$x < 7$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, которые меньше 7. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 7)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 7)$.

Постройте график функции $y=f(x)$ и перечислите ее свойства (366–367):

366. 1) $f(x) = \sqrt{x} + 1;$

2) $f(x) = 3^x + 3;$

3) $f(x) = 4^{x-1} - 1;$

4) $f(x) = |2^{x+2} - 5|.$

1) $f(x) = \sqrt{x} + 1$

Решение:

График функции $f(x) = \sqrt{x} + 1$ получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси ординат $Oy$. Для построения найдем несколько точек:

при $x=0, y=\sqrt{0}+1=1$;
при $x=1, y=\sqrt{1}+1=2$;
при $x=4, y=\sqrt{4}+1=3$;
при $x=9, y=\sqrt{9}+1=4$.

График функции:

Ответ:

Свойства функции $y = \sqrt{x} + 1$:
- Область определения: $D(f) = [0; +\infty)$.
- Область значений: $E(f) = [1; +\infty)$.
- Нули функции: отсутствуют.
- Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
- Функция положительна на всей области определения: $f(x) > 0$ при $x \in [0; +\infty)$.
- Функция строго возрастает на всей области определения: $[0; +\infty)$.
- Экстремумы: точка минимума $(0; 1)$, $y_{min} = 1$. Точек максимума нет.
- Асимптоты: отсутствуют.

2) $f(x) = 3^x + 3$

Решение:

График функции $f(x) = 3^x + 3$ получается из графика показательной функции $y = 3^x$ путем параллельного переноса на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Функция имеет горизонтальную асимптоту $y=3$.

Некоторые точки для построения:
при $x=-2, y=3^{-2}+3 = 1/9+3 \approx 3.11$;
при $x=-1, y=3^{-1}+3 = 1/3+3 \approx 3.33$;
при $x=0, y=3^0+3 = 1+3=4$;
при $x=1, y=3^1+3 = 3+3=6$.

График функции:

Ответ:

Свойства функции $y = 3^x + 3$:
- Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(f) = (3; +\infty)$.
- Нули функции: отсутствуют.
- Функция общего вида.
- Функция положительна на всей области определения: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.
- Функция строго возрастает на всей области определения: $(-\infty; +\infty)$.
- Экстремумы: отсутствуют.
- Асимптоты: горизонтальная асимптота $y=3$ при $x \to -\infty$.

3) $f(x) = 4^{x-1} - 1$

Решение:

График функции $f(x) = 4^{x-1} - 1$ получается из графика функции $y = 4^x$ путем двух преобразований: сдвиг на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и сдвиг на 1 единицу вниз по оси $Oy$. Функция имеет горизонтальную асимптоту $y=-1$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью $Oy$ ($x=0$): $y = 4^{0-1} - 1 = 1/4 - 1 = -3/4$. Точка $(0, -0.75)$.
- с осью $Ox$ ($y=0$): $4^{x-1} - 1 = 0 \implies 4^{x-1} = 1 \implies x-1=0 \implies x=1$. Точка $(1, 0)$.

График функции:

Ответ:

Свойства функции $y = 4^{x-1} - 1$:
- Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(f) = (-1; +\infty)$.
- Нули функции: $x=1$.
- Функция общего вида.
- Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$.
- Функция строго возрастает на всей области определения: $(-\infty; +\infty)$.
- Экстремумы: отсутствуют.
- Асимптоты: горизонтальная асимптота $y=-1$ при $x \to -\infty$.

4) $f(x) = |2^{x+2} - 5|$

Решение:

Для построения графика функции $f(x) = |2^{x+2} - 5|$ сначала построим график функции $y_1 = 2^{x+2} - 5$. Этот график получается из $y=2^x$ сдвигом на 2 влево и на 5 вниз. Асимптота $y_1$ - это $y=-5$. Затем часть графика $y_1$, лежащую ниже оси $Ox$, симметрично отражаем относительно этой оси.

Найдем точку излома (нуль подмодульного выражения):
$2^{x+2} - 5 = 0 \implies 2^{x+2} = 5 \implies x+2 = \log_2 5 \implies x = \log_2 5 - 2 \approx 2.32 - 2 = 0.32$.
Точка излома: $(\log_2 5 - 2, 0)$.
При $x \to -\infty$, $2^{x+2} \to 0$, тогда $f(x) \to |0 - 5| = 5$. Горизонтальная асимптота $y=5$ при $x \to -\infty$.

График функции:

Ответ:

Свойства функции $y = |2^{x+2} - 5|$:
- Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(f) = [0; +\infty)$.
- Нули функции: $x = \log_2 5 - 2$.
- Функция общего вида.
- Промежутки знакопостоянства: $f(x) \ge 0$ на всей области определения. $f(x) > 0$ при $x \neq \log_2 5 - 2$.
- Монотонность: убывает на $(-\infty; \log_2 5 - 2]$; возрастает на $[\log_2 5 - 2; +\infty)$.
- Экстремумы: точка минимума $(\log_2 5 - 2; 0)$, $y_{min} = 0$.
- Асимптоты: горизонтальная асимптота $y=5$ при $x \to -\infty$.

367.

1) $f(x) = \log_5 (x + 1);$

2) $f(x) = 3 + \log_{\frac{1}{5}} (x - 1);$

3) $f(x) = \log_6 x - 2;$

4) $f(x) = 3 + \log_2 (x + 2).$

Поскольку в задании не указано, что именно нужно сделать с функциями, наиболее вероятной задачей является нахождение области определения для каждой из них. Область определения логарифмической функции $f(x) = \log_a(g(x))$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $g(x) > 0$.

1) $f(x) = \log_5(x + 1)$

Найти: Область определения функции $f(x)$.

Решение:

Аргумент логарифма, выражение $(x + 1)$, должен быть строго больше нуля.

Составим и решим неравенство:

$x + 1 > 0$

Перенесем $1$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$x > -1$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие $-1$.

Ответ: $D(f) = (-1; +\infty)$.

2) $f(x) = 3 + \log_{\frac{1}{5}}(x - 1)$

Найти: Область определения функции $f(x)$.

Решение:

Область определения функции определяется выражением под знаком логарифма. Слагаемое $3$ не влияет на область определения. Аргумент логарифма $(x - 1)$ должен быть строго положительным.

Составим и решим неравенство:

$x - 1 > 0$

Перенесем $-1$ в правую часть неравенства:

$x > 1$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие $1$.

Ответ: $D(f) = (1; +\infty)$.

3) $f(x) = \log_6(x) - 2$

Найти: Область определения функции $f(x)$.

Решение:

Область определения функции определяется аргументом логарифма. Вычитаемое $2$ не влияет на область определения. Аргумент логарифма $x$ должен быть строго больше нуля.

Составим неравенство:

$x > 0$

Неравенство уже решено относительно $x$.

Таким образом, область определения функции — это все положительные действительные числа.

Ответ: $D(f) = (0; +\infty)$.

4) $f(x) = 3 + \log_2(x + 2)$

Найти: Область определения функции $f(x)$.

Решение:

Область определения функции определяется выражением под знаком логарифма. Слагаемое $3$ не влияет на область определения. Аргумент логарифма $(x + 2)$ должен быть строго положительным.

Составим и решим неравенство:

$x + 2 > 0$

Перенесем $2$ в правую часть неравенства:

$x > -2$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие $-2$.

Ответ: $D(f) = (-2; +\infty)$.