Номер 368, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите промежутки знакопостоянства функции $y=f(x)$

(368–369):

368.1) $f(x) = \sqrt{x - 1}$;

2) $f(x) = 3\sqrt{x}$;

3) $f(x) = 3^x - 3$;

4) $f(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^x + 1.

1) Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции $f(x) = \sqrt{x} - 1$, сначала найдем ее область определения и нули.

Область определения функции определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным. Таким образом, $D(f) = [0, +\infty)$.

Далее, найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:
$\sqrt{x} - 1 = 0$
$\sqrt{x} = 1$
$x = 1$.

Точка $x=1$ разбивает область определения $[0, +\infty)$ на два промежутка: $[0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак функции на каждом из этих промежутков.

Найдем, где $f(x) > 0$:
$\sqrt{x} - 1 > 0 \implies \sqrt{x} > 1$
Возведя обе части в квадрат, получим $x > 1$.

Найдем, где $f(x) < 0$:
$\sqrt{x} - 1 < 0 \implies \sqrt{x} < 1$
С учетом области определения ($x \ge 0$), получаем $0 \le x < 1$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in [0, 1)$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x}$.

Область определения кубического корня — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:
$\sqrt[3]{x} = 0$
$x = 0$.

Точка $x=0$ делит числовую прямую на два промежутка: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Найдем, где $f(x) > 0$:
$\sqrt[3]{x} > 0$
Возведя обе части в куб, получим $x > 0$.

Найдем, где $f(x) < 0$:
$\sqrt[3]{x} < 0$
Возведя обе части в куб, получим $x < 0$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0, +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 0)$.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = 3^x - 3$.

Область определения показательной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:
$3^x - 3 = 0$
$3^x = 3$
$3^x = 3^1$
$x = 1$.

Точка $x=1$ делит числовую прямую на два промежутка: $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Найдем, где $f(x) > 0$:
$3^x - 3 > 0 \implies 3^x > 3^1$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому неравенство для показателей сохраняет знак: $x > 1$.

Найдем, где $f(x) < 0$:
$3^x - 3 < 0 \implies 3^x < 3^1$
Поскольку основание $3 > 1$, то $x < 1$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 1)$.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^x + 1$.

Область определения показательной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:
$\left(\frac{1}{7}\right)^x + 1 = 0$
$\left(\frac{1}{7}\right)^x = -1$.

Это уравнение не имеет решений в действительных числах, поскольку показательная функция $a^x$ (где $a > 0$) всегда принимает только положительные значения. Следовательно, у функции нет нулей.

Так как функция непрерывна и не имеет нулей, она сохраняет свой знак на всей области определения. Чтобы определить этот знак, выберем любое значение $x$, например, $x=0$:
$f(0) = \left(\frac{1}{7}\right)^0 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Поскольку $f(0) = 2 > 0$, функция положительна на всей числовой прямой. Можно также заметить, что для любого $x$, $\left(\frac{1}{7}\right)^x > 0$, поэтому $f(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^x + 1 > 0 + 1 = 1$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, +\infty)$; промежутков, где $f(x) < 0$, не существует.