Номер 374, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Для функции $y = f(x)$ найдите: 1) множество всех первообразных; 2) первообразную, график которой проходит через точку $K(a; b)$

(374—375):

374. 1) $f(x) = \frac{9}{(5 - 3x)}$, $K(1; 1);$

2) $f(x) = \frac{6}{\cos^2 3x} + 1$, $K(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4});$

3) $f(x) = 5e^x$, $K(-1; \frac{1}{e});$

4) $f(x) = e^{2x} - 10x$, $K(0; 1).$

1)

Дано:

Функция $f(x) = \frac{9}{5 - 3x}$, точка $K(1; 1)$.

Найти:

1) Множество всех первообразных $F(x)$.

2) Первообразную, график которой проходит через точку $K$.

Решение:

1) Множество всех первообразных для функции $f(x)$ находится путем вычисления неопределенного интеграла. Общий вид первообразной $F(x) = \int f(x) dx$.

$F(x) = \int \frac{9}{5 - 3x} dx$

Используем формулу для интеграла от функции вида $\frac{1}{kx+b}$: $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$.

$F(x) = 9 \int \frac{1}{5 - 3x} dx = 9 \cdot \frac{1}{-3} \ln|5 - 3x| + C = -3 \ln|5 - 3x| + C$.

Это и есть множество всех первообразных для данной функции.

2) Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $K(1; 1)$, нужно подставить координаты этой точки в полученное общее уравнение для $F(x)$ и найти значение константы $C$.

$F(1) = 1$

$-3 \ln|5 - 3 \cdot 1| + C = 1$

$-3 \ln|2| + C = 1$

$-3 \ln(2) + C = 1$

$C = 1 + 3 \ln(2)$

Подставляем найденное значение $C$ в общее уравнение первообразной:

$F(x) = -3 \ln|5 - 3x| + 1 + 3 \ln(2)$.

Ответ: 1) $F(x) = -3 \ln|5 - 3x| + C$; 2) $F(x) = -3 \ln|5 - 3x| + 1 + 3 \ln(2)$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = \frac{6}{\cos^2{3x}} + 1$, точка $K(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$.

Найти:

1) Множество всех первообразных $F(x)$.

2) Первообразную, график которой проходит через точку $K$.

Решение:

1) Находим множество всех первообразных через интегрирование:

$F(x) = \int (\frac{6}{\cos^2{3x}} + 1) dx = \int \frac{6}{\cos^2{3x}} dx + \int 1 dx$.

Используем табличные интегралы: $\int \frac{1}{\cos^2(kx)} dx = \frac{1}{k} \tan(kx) + C$ и $\int dx = x + C$.

$\int \frac{6}{\cos^2{3x}} dx = 6 \int \frac{1}{\cos^2{3x}} dx = 6 \cdot \frac{1}{3} \tan(3x) = 2 \tan(3x)$.

$\int 1 dx = x$.

Складывая результаты, получаем общее множество первообразных:

$F(x) = 2 \tan(3x) + x + C$.

2) Находим константу $C$, подставив координаты точки $K(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4})$:

$F(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$

$2 \tan(3 \cdot \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4}$

$2 \tan(\frac{3\pi}{4}) + C = 0$.

Значение тангенса $\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$.

$2 \cdot (-1) + C = 0$

$-2 + C = 0$

$C = 2$.

Искомая первообразная:

$F(x) = 2 \tan(3x) + x + 2$.

Ответ: 1) $F(x) = 2 \tan(3x) + x + C$; 2) $F(x) = 2 \tan(3x) + x + 2$.

3)

Дано:

Функция $f(x) = 5e^x$, точка $K(-1; \frac{1}{e})$.

Найти:

1) Множество всех первообразных $F(x)$.

2) Первообразную, график которой проходит через точку $K$.

Решение:

1) Множество всех первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$:

$F(x) = \int 5e^x dx = 5 \int e^x dx = 5e^x + C$.

2) Найдем константу $C$, используя условие, что график первообразной проходит через точку $K(-1; \frac{1}{e})$.

$F(-1) = \frac{1}{e}$

$5e^{-1} + C = \frac{1}{e}$

$\frac{5}{e} + C = \frac{1}{e}$

$C = \frac{1}{e} - \frac{5}{e} = -\frac{4}{e}$.

Искомая первообразная:

$F(x) = 5e^x - \frac{4}{e}$.

Ответ: 1) $F(x) = 5e^x + C$; 2) $F(x) = 5e^x - \frac{4}{e}$.

4)

Дано:

Функция $f(x) = e^{2x} - 10x$, точка $K(0; 1)$.

Найти:

1) Множество всех первообразных $F(x)$.

2) Первообразную, график которой проходит через точку $K$.

Решение:

1) Найдем множество всех первообразных, вычислив неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (e^{2x} - 10x) dx = \int e^{2x} dx - \int 10x dx$.

Используем табличные интегралы: $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ и $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$.

$\int 10x dx = 10 \frac{x^2}{2} = 5x^2$.

Следовательно, общее множество первообразных:

$F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - 5x^2 + C$.

2) Найдем константу $C$ для первообразной, проходящей через точку $K(0; 1)$.

$F(0) = 1$

$\frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} - 5 \cdot 0^2 + C = 1$

$\frac{1}{2}e^{0} - 0 + C = 1$

$\frac{1}{2} \cdot 1 + C = 1$

$\frac{1}{2} + C = 1$

$C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Искомая первообразная:

$F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - 5x^2 + \frac{1}{2}$.

Ответ: 1) $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - 5x^2 + C$; 2) $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - 5x^2 + \frac{1}{2}$.