Номер 377, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите площади фигур, ограниченных линиями (377–379):

377.1) $y = x^2 - 4x + 7$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 1$;

2) $y = x^2 + 6x - 8$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$;

3) $y = x^2 + 3x$, $y = 0$;

4) $y = 6x - x^2$, $y = 0$.

1) y = x² - 4x + 7, y = 0, x = 0, x = 1;

Решение
Фигура, площадь которой необходимо найти, является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции $y = x^2 - 4x + 7$, снизу — осью абсцисс ($y=0$), и с боков — прямыми $x=0$ и $x=1$.
Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле $S = \int_a^b f(x) \,dx$, при условии, что $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$.
В нашем случае $f(x) = x^2 - 4x + 7$, $a=0$, $b=1$.
Проверим знак функции на отрезке $[0, 1]$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $y = x^2 - 4x + 7$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), парабола полностью находится выше оси Ox, а значит, функция $y = x^2 - 4x + 7$ положительна при любых значениях $x$, в том числе и на отрезке $[0, 1]$.
Следовательно, площадь можно вычислить как:
$S = \int_0^1 (x^2 - 4x + 7) \,dx$.
Найдем первообразную для подынтегральной функции:
$F(x) = \int (x^2 - 4x + 7) \,dx = \frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 7x = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 7x$.
По формуле Ньютона-Лейбница, площадь равна:
$S = F(1) - F(0) = \left(\frac{1^3}{3} - 2(1)^2 + 7(1)\right) - \left(\frac{0^3}{3} - 2(0)^2 + 7(0)\right) = \left(\frac{1}{3} - 2 + 7\right) - 0 = \frac{1}{3} + 5 = \frac{16}{3}$.
Ответ:$S = \frac{16}{3}$.

2) y = x² + 6x - 8, y = 0, x = 0, x = 2;

Решение
Фигура ограничена графиком функции $y = x^2 + 6x - 8$, осью $y=0$ и прямыми $x=0$, $x=2$. Площадь вычисляется по формуле $S = \int_a^b |f(x)| \,dx$.
Определим знаки функции $f(x) = x^2 + 6x - 8$ на отрезке $[0, 2]$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 8 = 0$.
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.
$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$.
Один из корней, $x_0 = \sqrt{17} - 3$, является положительным. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $1 < \sqrt{17} - 3 < 2$. Этот корень принадлежит отрезку $[0, 2]$.
Парабола $y = x^2 + 6x - 8$ ветвями вверх, поэтому функция отрицательна между корнями. На отрезке $[0, 2]$ функция меняет знак:
- на интервале $[0, \sqrt{17}-3)$ функция $f(x) \le 0$;
- на интервале $[\sqrt{17}-3, 2]$ функция $f(x) \ge 0$.
Поэтому площадь вычисляется как сумма двух интегралов:
$S = \int_0^{\sqrt{17}-3} -(x^2 + 6x - 8) \,dx + \int_{\sqrt{17}-3}^2 (x^2 + 6x - 8) \,dx$.
Первообразная для $x^2 + 6x - 8$ есть $F(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x$.
Тогда $S = -[F(x)]_0^{\sqrt{17}-3} + [F(x)]_{\sqrt{17}-3}^2 = -(F(\sqrt{17}-3) - F(0)) + (F(2) - F(\sqrt{17}-3))$.
$S = F(2) + F(0) - 2F(\sqrt{17}-3)$.
Вычислим значения:
$F(0) = 0$.
$F(2) = \frac{2^3}{3} + 3(2^2) - 8(2) = \frac{8}{3} + 12 - 16 = \frac{8}{3} - 4 = -\frac{4}{3}$.
Для вычисления $F(\sqrt{17}-3)$ обозначим $c = \sqrt{17}-3$. Так как $c$ — корень уравнения $c^2+6c-8=0$, то $c^2=8-6c$.
$F(c) = \frac{c^3}{3} + 3c^2 - 8c = \frac{c(c^2)}{3} + 3c^2 - 8c = \frac{c(8-6c)}{3} + 3(8-6c) - 8c = \frac{8c-6c^2}{3} + 24 - 18c - 8c = \frac{8c-6(8-6c)}{3} + 24 - 26c = \frac{8c - 48 + 36c}{3} + 24 - 26c = \frac{44c - 48}{3} + 24 - 26c = \frac{44c - 48 + 72 - 78c}{3} = \frac{24 - 34c}{3}$.
$F(\sqrt{17}-3) = \frac{24 - 34(\sqrt{17}-3)}{3} = \frac{24 - 34\sqrt{17} + 102}{3} = \frac{126 - 34\sqrt{17}}{3}$.
Подставляем значения в формулу для площади:
$S = -\frac{4}{3} + 0 - 2\left(\frac{126 - 34\sqrt{17}}{3}\right) = \frac{-4 - 252 + 68\sqrt{17}}{3} = \frac{68\sqrt{17} - 256}{3}$.
Ответ:$S = \frac{68\sqrt{17} - 256}{3}$.

3) y = x² + 3x, y = 0;

Решение
Фигура ограничена параболой $y = x^2 + 3x$ и осью абсцисс ($y=0$). Пределы интегрирования определяются точками пересечения параболы с осью Ox.
$x^2 + 3x = 0 \implies x(x+3) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$. Таким образом, интегрирование производится по отрезку $[-3, 0]$.
Парабола $y = x^2 + 3x$ имеет ветви, направленные вверх, следовательно, на интервале между корнями $(-3, 0)$ функция принимает отрицательные значения ($y \le 0$).
Площадь фигуры равна интегралу от модуля функции:
$S = \int_{-3}^0 |x^2 + 3x| \,dx = \int_{-3}^0 -(x^2 + 3x) \,dx = \int_{-3}^0 (-x^2 - 3x) \,dx$.
Найдем первообразную:
$F(x) = \int (-x^2 - 3x) \,dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}$.
Вычислим площадь по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = F(0) - F(-3) = \left(-\frac{0^3}{3} - \frac{3 \cdot 0^2}{2}\right) - \left(-\frac{(-3)^3}{3} - \frac{3(-3)^2}{2}\right) = 0 - \left(-\frac{-27}{3} - \frac{3 \cdot 9}{2}\right) = -(9 - \frac{27}{2}) = -(\frac{18-27}{2}) = -(-\frac{9}{2}) = \frac{9}{2}$.
Ответ:$S = \frac{9}{2}$.

4) y = 6x - x², y = 0.

Решение
Фигура ограничена параболой $y = 6x - x^2$ и осью Ox ($y=0$). Найдем пределы интегрирования, решив уравнение $6x - x^2 = 0$.
$x(6 - x) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$. Интегрирование будет вестись по отрезку $[0, 6]$.
Парабола $y = 6x - x^2$ имеет ветви, направленные вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен), поэтому на интервале между корнями $(0, 6)$ функция принимает положительные значения ($y \ge 0$).
Площадь вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_0^6 (6x - x^2) \,dx$.
Найдем первообразную:
$F(x) = \int (6x - x^2) \,dx = 6\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 3x^2 - \frac{x^3}{3}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = F(6) - F(0) = \left(3(6^2) - \frac{6^3}{3}\right) - \left(3(0^2) - \frac{0^3}{3}\right) = \left(3 \cdot 36 - \frac{216}{3}\right) - 0 = 108 - 72 = 36$.
Ответ:$S = 36$.