Номер 375, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

$f(x) = 16x^3 + 3x^2$, $K(1; 2)$;

2) $f(x) = \frac{2}{5x^4} + 7x^6$, $K(-1; 1)$;

3) $f(x) = \frac{5}{3\sin^2 x}$, $K\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$;

4) $f(x) = -\frac{6}{\sqrt{1+3x}}$, $K(5; 0)$.

1)

Дано:

Функция $f(x) = 16x^3 + 3x^2$

Точка $K(1; 2)$

Найти:

Первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, график которой проходит через точку $K$.

Решение:

Сначала найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$, вычислив неопределённый интеграл:

$F(x) = \int (16x^3 + 3x^2) dx = 16 \int x^3 dx + 3 \int x^2 dx$.

Используя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получаем:

$F(x) = 16 \cdot \frac{x^{4}}{4} + 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} + C = 4x^4 + x^3 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Чтобы найти значение константы $C$, используем условие, что график искомой первообразной проходит через точку $K(1; 2)$. Это означает, что при $x=1$ значение первообразной $F(1)$ должно быть равно 2.

Подставим эти значения в выражение для $F(x)$:

$F(1) = 4(1)^4 + (1)^3 + C = 2$

$4 + 1 + C = 2$

$5 + C = 2$

$C = 2 - 5 = -3$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = 4x^4 + x^3 - 3$.

Ответ: $F(x) = 4x^4 + x^3 - 3$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = \frac{2}{5x^4} + 7x^6$

Точка $K(-1; 1)$

Найти:

Первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, график которой проходит через точку $K$.

Решение:

Представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = \frac{2}{5}x^{-4} + 7x^6$.

Найдём общий вид первообразных для функции $f(x)$:

$F(x) = \int (\frac{2}{5}x^{-4} + 7x^6) dx = \frac{2}{5} \int x^{-4} dx + 7 \int x^6 dx$.

Применяя формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получаем:

$F(x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + 7 \cdot \frac{x^{6+1}}{6+1} + C = \frac{2}{5} \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + 7 \cdot \frac{x^7}{7} + C = -\frac{2}{15}x^{-3} + x^7 + C$.

Общий вид первообразной: $F(x) = x^7 - \frac{2}{15x^3} + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $K(-1; 1)$. Подставим $x=-1$ и $F(-1)=1$:

$F(-1) = (-1)^7 - \frac{2}{15(-1)^3} + C = 1$

$-1 - \frac{2}{-15} + C = 1$

$-1 + \frac{2}{15} + C = 1$

$C = 1 + 1 - \frac{2}{15} = 2 - \frac{2}{15} = \frac{30}{15} - \frac{2}{15} = \frac{28}{15}$.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = x^7 - \frac{2}{15x^3} + \frac{28}{15}$.

Ответ: $F(x) = x^7 - \frac{2}{15x^3} + \frac{28}{15}$.

3)

Дано:

Функция $f(x) = \frac{5}{3\sin^2 x}$

Точка $K(\frac{\pi}{4}; 1)$

Найти:

Первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, график которой проходит через точку $K$.

Решение:

Найдём общий вид первообразных для функции $f(x)$:

$F(x) = \int \frac{5}{3\sin^2 x} dx = \frac{5}{3} \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$.

Используя табличный интеграл $\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + C$, получаем:

$F(x) = \frac{5}{3} (-\cot x) + C = -\frac{5}{3}\cot x + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $K(\frac{\pi}{4}; 1)$. Подставим $x=\frac{\pi}{4}$ и $F(\frac{\pi}{4})=1$.

$F(\frac{\pi}{4}) = -\frac{5}{3}\cot(\frac{\pi}{4}) + C = 1$.

Так как $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, имеем:

$-\frac{5}{3} \cdot 1 + C = 1$

$C = 1 + \frac{5}{3} = \frac{3}{3} + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}$.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = -\frac{5}{3}\cot x + \frac{8}{3}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{5}{3}\cot x + \frac{8}{3}$.

4)

Дано:

Функция $f(x) = -\frac{6}{\sqrt{1+3x}}$

Точка $K(5; 0)$

Найти:

Первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, график которой проходит через точку $K$.

Решение:

Представим функцию в виде, удобном для интегрирования: $f(x) = -6(1+3x)^{-\frac{1}{2}}$.

Найдём общий вид первообразных, используя формулу для сложной функции $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \int -6(1+3x)^{-\frac{1}{2}} dx = -6 \int (1+3x)^{-\frac{1}{2}} dx = -6 \cdot \frac{1}{3} \frac{(1+3x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C$.

$F(x) = -2 \frac{(1+3x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -2 \cdot 2 \sqrt{1+3x} + C = -4\sqrt{1+3x} + C$.

Используем условие, что график первообразной проходит через точку $K(5; 0)$. Подставим $x=5$ и $F(5)=0$.

$F(5) = -4\sqrt{1+3 \cdot 5} + C = 0$.

$-4\sqrt{1+15} + C = 0$

$-4\sqrt{16} + C = 0$

$-4 \cdot 4 + C = 0$

$-16 + C = 0$

$C = 16$.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = -4\sqrt{1+3x} + 16$.

Ответ: $F(x) = 16 - 4\sqrt{1+3x}$.