Номер 373, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

373. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=f(x)$ на отрезке $[a;b]$:

1) $f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, $[-1; 0]$;

2) $f(x) = 2^x - 4$, $[-2; 2]$;

3) $f(x) = 3 + \log_5 x$, $\left[\frac{1}{5}; 5\right]$;

4) $f(x) = \log_4 x - 1$, $\left[\frac{1}{16}; 4\right]$.

1) Функция $f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ является показательной. Основание степени $a = \frac{2}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, следовательно, функция является убывающей на всей числовой прямой. На отрезке $[-1; 0]$ функция достигает своего наибольшего значения на левом конце отрезка, а наименьшего — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(-1) = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2} = 1.5$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = f(0) = \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $1.5$, наименьшее значение равно $1$.

2) Функция $f(x) = 2^x - 4$. Показательная функция $y=2^x$ имеет основание $a = 2 > 1$, поэтому она является возрастающей. Функция $f(x)$ получена из $y=2^x$ сдвигом вниз на 4 единицы, что не меняет её монотонности. Следовательно, $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой. На отрезке $[-2; 2]$ функция достигает своего наименьшего значения на левом конце отрезка, а наибольшего — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение: $y_{наим} = f(-2) = 2^{-2} - 4 = \frac{1}{4} - 4 = -3.75$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $0$, наименьшее значение равно $-3.75$.

3) Функция $f(x) = 3 + \log_5 x$. Логарифмическая функция $y=\log_5 x$ имеет основание $a=5 > 1$, поэтому она является возрастающей на своей области определения $(0; +\infty)$. Функция $f(x)$ получена из $y=\log_5 x$ сдвигом вверх на 3 единицы, что не меняет её монотонности. Следовательно, $f(x)$ возрастает на всей области определения. На отрезке $[\frac{1}{5}; 5]$ функция достигает своего наименьшего значения на левом конце отрезка, а наибольшего — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение: $y_{наим} = f\left(\frac{1}{5}\right) = 3 + \log_5\left(\frac{1}{5}\right) = 3 + \log_5(5^{-1}) = 3 - 1 = 2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(5) = 3 + \log_5 5 = 3 + 1 = 4$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $4$, наименьшее значение равно $2$.

4) Функция $f(x) = \log_4 x - 1$. Логарифмическая функция $y=\log_4 x$ имеет основание $a=4 > 1$, поэтому она является возрастающей на своей области определения $(0; +\infty)$. Функция $f(x)$ получена из $y=\log_4 x$ сдвигом вниз на 1 единицу, что не меняет её монотонности. Следовательно, $f(x)$ возрастает на всей области определения. На отрезке $[\frac{1}{16}; 4]$ функция достигает своего наименьшего значения на левом конце отрезка, а наибольшего — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение: $y_{наим} = f\left(\frac{1}{16}\right) = \log_4\left(\frac{1}{16}\right) - 1 = \log_4(4^{-2}) - 1 = -2 - 1 = -3$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(4) = \log_4 4 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $0$, наименьшее значение равно $-3$.