Номер 376, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

376. Используя график функции $y=f(x)$, перечислите ее свойства (рис. 48):

1 $y=|\log_2 x|$

2 $y=|\frac{1}{2^{1-x}} - 1|$

Рис. 48

1) Свойства функции $y=|\log_{2}x|$, график которой представлен на рисунке 1:

1. Область определения: $D(f) = (0; +\infty)$, так как логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента.

2. Область значений: $E(f) = [0; +\infty)$, так как модуль любого числа является неотрицательной величиной.

3. Нули функции: $y=0$ при $|\log_{2}x|=0$, что эквивалентно $\log_{2}x=0$. Отсюда $x=2^0=1$. Точка пересечения с осью Ox: $(1; 0)$. С осью Oy пересечений нет.

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

5. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(0; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

6. Экстремумы: в точке $x=1$ функция имеет минимум, $y_{\min}=0$. Максимума нет.

7. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения несимметрична относительно нуля.

8. Асимптоты: прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой, так как $\lim_{x \to 0+} |\log_{2}x| = +\infty$.

Ответ: Свойства функции $y=|\log_{2}x|$:
1. Область определения: $(0; +\infty)$.
2. Область значений: $[0; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x=1$.
4. $y > 0$ при $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.
5. Убывает на $(0; 1]$, возрастает на $[1; +\infty)$.
6. Точка минимума $x=1$, $y_{\min}=0$.
7. Функция общего вида.
8. Вертикальная асимптота $x=0$.

2) Свойства функции $y=|\frac{1}{2^{1-x}}-1| = |2^{x-1}-1|$, график которой представлен на рисунке 2:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как показательная функция определена для любых действительных чисел.

2. Область значений: $E(f) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $|2^{x-1}-1|=0$, что эквивалентно $2^{x-1}=1$. Отсюда $x-1=0$, то есть $x=1$. Точка пересечения с осью Ox: $(1; 0)$. Точка пересечения с осью Oy: $x=0 \implies y=|2^{-1}-1|=|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. Точка $(0; \frac{1}{2})$.

4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

5. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

6. Экстремумы: в точке $x=1$ функция имеет минимум, $y_{\min}=0$. Максимума нет.

7. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Например, $f(2)=|2^{2-1}-1|=1$, а $f(-2)=|2^{-2-1}-1|=|\frac{1}{8}-1|=\frac{7}{8}$. Так как $f(-2) \ne f(2)$ и $f(-2) \ne -f(2)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

8. Асимптоты: прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$, так как $\lim_{x \to -\infty} |2^{x-1}-1| = |0-1|=1$. Вертикальных асимптот нет.

Ответ: Свойства функции $y=|\frac{1}{2^{1-x}}-1|$:
1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $[0; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x=1$. Пересечение с Oy в точке $(0; \frac{1}{2})$.
4. $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
5. Убывает на $(-\infty; 1]$, возрастает на $[1; +\infty)$.
6. Точка минимума $x=1$, $y_{\min}=0$.
7. Функция общего вида.
8. Горизонтальная асимптота $y=1$ (при $x \to -\infty$).