Номер 370, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

370. Найдите промежутки возрастания и убывания функции y=f(x):

1) $f(x) = xe^{3x}$;

2) $f(x) = 3x \cdot e^x$;

3) $f(x) = x^2 e^x$;

4) $f(x) = x \cdot e^{2x}$.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем определить знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения функции.

1) f(x) = xe^3x

Решение

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x)' \cdot e^{3x} + x \cdot (e^{3x})' = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$e^{3x}(1 + 3x) = 0$.

Поскольку $e^{3x} > 0$ для любого $x$, уравнение сводится к $1 + 3x = 0$.

$3x = -1 \implies x = -1/3$.

Эта критическая точка делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; -1/3)$ и $(-1/3; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом интервале:

• На интервале $(-\infty; -1/3)$, возьмем точку $x = -1$. $f'(-1) = e^{-3}(1 + 3(-1)) = -2e^{-3} < 0$. Значит, функция убывает.
• На интервале $(-1/3; +\infty)$, возьмем точку $x = 0$. $f'(0) = e^{0}(1 + 3(0)) = 1 > 0$. Значит, функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1/3]$ и возрастает на промежутке $[-1/3; +\infty)$.

2) f(x) = 3x · e^x

Решение

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (3x)' \cdot e^x + 3x \cdot (e^x)' = 3e^x + 3xe^x = 3e^x(1 + x)$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$3e^x(1 + x) = 0$.

Так как $3e^x > 0$ для любого $x$, то $1 + x = 0$, откуда $x = -1$.

Критическая точка $x = -1$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом интервале:

• На интервале $(-\infty; -1)$, возьмем $x = -2$. $f'(-2) = 3e^{-2}(1 - 2) = -3e^{-2} < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-1; +\infty)$, возьмем $x = 0$. $f'(0) = 3e^{0}(1 + 0) = 3 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$ и возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.

3) f(x) = x²e^x

Решение

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(2 + x)$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$xe^x(2 + x) = 0$.

Так как $e^x > 0$, то $x(2 + x) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Критические точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом интервале (знак $f'(x)$ совпадает со знаком параболы $y=x(x+2)$):

• На интервале $(-\infty; -2)$, возьмем $x = -3$. $f'(-3) = (-3)e^{-3}(2 - 3) = 3e^{-3} > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(-2; 0)$, возьмем $x = -1$. $f'(-1) = (-1)e^{-1}(2 - 1) = -e^{-1} < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0; +\infty)$, возьмем $x = 1$. $f'(1) = 1e^{1}(2 + 1) = 3e > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-2; 0]$.

4) f(x) = x · e^2x

Решение

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x)' \cdot e^{2x} + x \cdot (e^{2x})' = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$e^{2x}(1 + 2x) = 0$.

Поскольку $e^{2x} > 0$, то $1 + 2x = 0$, откуда $x = -1/2$.

Критическая точка $x = -1/2$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; -1/2)$ и $(-1/2; +\infty)$.

Определим знак производной на каждом интервале:

• На интервале $(-\infty; -1/2)$, возьмем $x = -1$. $f'(-1) = e^{-2}(1 + 2(-1)) = -e^{-2} < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-1/2; +\infty)$, возьмем $x = 0$. $f'(0) = e^{0}(1 + 2(0)) = 1 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1/2]$ и возрастает на промежутке $[-1/2; +\infty)$.