Номер 371, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

371. Постройте график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 5\log_5(x^2 - 1);$

2) $f(x) = \frac{1}{4}^{\log_{\frac{1}{2}}(x + 2)};$

3) $f(x) = 0,5^{\log_2(x - 5)};$

4) $f(x) = 9^{\log_3 \cdot \frac{1}{x}}.$

1) $f(x) = 5^{\log_5(x^2 - 1)}$

Решение:
Для построения графика функции $y = f(x)$ сначала найдем ее область определения и упростим формулу.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^2 - 1 > 0$
$(x - 1)(x + 1) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.
Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

2. Упрощение функции.
Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В данном случае $a=5$ и $b = x^2 - 1$.
$f(x) = 5^{\log_5(x^2 - 1)} = x^2 - 1$.

3. Построение графика.
Графиком функции является парабола $y = x^2 - 1$, но с учетом области определения. Мы должны построить эту параболу только для $x < -1$ и $x > 1$.
Вершина параболы $y = x^2 - 1$ находится в точке $(0; -1)$, но эта точка не входит в область определения.
Найдем значения функции на границах области определения:
При $x \to 1^+$, $y \to 1^2 - 1 = 0$.
При $x \to -1^-$, $y \to (-1)^2 - 1 = 0$.
Точки $(1; 0)$ и $(-1; 0)$ не принадлежат графику, поэтому на графике они будут отмечены "выколотыми" (пустыми) кружками.

График представляет собой две ветви параболы $y = x^2 - 1$, симметричные относительно оси OY, начинающиеся из точек $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y=x^2-1$ с "выколотой" частью на отрезке $[-1; 1]$ по оси $x$. Точки $(-1; 0)$ и $(1; 0)$ не принадлежат графику.

2) $f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}(x + 2)}$

Решение:
1. Область определения функции (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x + 2 > 0$
$x > -2$
Область определения функции $D(f) = (-2; \infty)$.

2. Упрощение функции.
Приведем основание степени к основанию логарифма. $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$.
$f(x) = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{\log_{\frac{1}{2}}(x + 2)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2\log_{\frac{1}{2}}(x + 2)}$
Используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a(b^n)$:
$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}((x + 2)^2)}$
Теперь используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$f(x) = (x + 2)^2$.

3. Построение графика.
Графиком функции является парабола $y = (x+2)^2$ с учетом области определения $x > -2$.
Это парабола $y = x^2$, смещенная на 2 единицы влево по оси OX. Ее вершина находится в точке $(-2; 0)$.
Так как $x > -2$, то мы строим только правую ветвь этой параболы, причем точка вершины $(-2; 0)$ не включается в график и отмечается "выколотой".

График представляет собой правую ветвь параболы $y = (x + 2)^2$, начинающуюся из точки $(-2; 0)$.

Ответ: Графиком функции является правая ветвь параболы $y=(x+2)^2$, начинающаяся из "выколотой" точки $(-2; 0)$.

3) $f(x) = 0.5^{\log_2(x - 5)}$

Решение:
1. Область определения функции (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x - 5 > 0$
$x > 5$
Область определения функции $D(f) = (5; \infty)$.

2. Упрощение функции.
Приведем основание степени к основанию логарифма. $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$f(x) = (2^{-1})^{\log_2(x - 5)} = 2^{-\log_2(x - 5)}$
Используя свойство логарифма $-n\log_a b = \log_a(b^{-n})$:
$f(x) = 2^{\log_2((x - 5)^{-1})} = 2^{\log_2\left(\frac{1}{x-5}\right)}$
Теперь используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$f(x) = \frac{1}{x - 5}$.

3. Построение графика.
Графиком функции является гипербола $y = \frac{1}{x-5}$ с учетом области определения $x > 5$.
Это график функции $y = \frac{1}{x}$, смещенный на 5 единиц вправо по оси OX. Он имеет вертикальную асимптоту $x = 5$ и горизонтальную асимптоту $y = 0$ (ось OX).
Так как $x > 5$, мы строим только правую ветвь этой гиперболы.

График представляет собой правую ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x-5}$ с вертикальной асимптотой $x=5$.

Ответ: Графиком функции является правая ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x-5}$, расположенная в первом квадранте смещенной системы координат с началом в точке $(5; 0)$. Вертикальная асимптота - прямая $x=5$.

4) $f(x) = 9^{\log_3 \frac{1}{x}}$

Решение:
1. Область определения функции (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$\frac{1}{x} > 0$
Это неравенство выполняется, когда $x > 0$.
Область определения функции $D(f) = (0; \infty)$.

2. Упрощение функции.
Приведем основание степени к основанию логарифма. $9 = 3^2$.
$f(x) = (3^2)^{\log_3 \frac{1}{x}} = 3^{2\log_3 \frac{1}{x}}$
Используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a(b^n)$:
$f(x) = 3^{\log_3 \left(\left(\frac{1}{x}\right)^2\right)} = 3^{\log_3 \left(\frac{1}{x^2}\right)}$
Теперь используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$f(x) = \frac{1}{x^2}$.

3. Построение графика.
Графиком функции является кривая $y = \frac{1}{x^2}$ с учетом области определения $x > 0$.
График имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось OY) и горизонтальную асимптоту $y = 0$ (ось OX).
Так как $x > 0$, мы строим только правую часть этого графика (в первом координатном углу).
Функция всегда положительна, при $x \to 0^+$ $y \to +\infty$, а при $x \to +\infty$ $y \to 0$. Некоторые точки графика: $(1; 1)$, $(2; 1/4)$, $(1/2; 4)$.

График представляет собой кривую, расположенную в первой координатной четверти, приближающуюся к осям координат.

Ответ: Графиком функции является правая ветвь кривой $y = \frac{1}{x^2}$ (для $x>0$) с асимптотами $x=0$ и $y=0$.