Номер 378, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

378.1) $y = x^2 + 3x + 6$, $y = 6;$

2) $y = 5x + x^2 + 2$, $y = 2;$

3) $y = 5 + 4x - x^2$, $y = x + 1;$

4) $y = 4 - x^2$, $y = x^2 - 2x.$

1) Дано:
$y = x^2+3x+6$
$y = 6$
Найти:
Координаты точек пересечения графиков.
Решение:
Чтобы найти точки пересечения, необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y=y$):
$x^2+3x+6 = 6$
Перенесем 6 в левую часть уравнения:
$x^2+3x+6-6 = 0$
$x^2+3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x+3) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$ (абсциссы точек пересечения):
$x_1 = 0$
$x_2+3 = 0 \implies x_2 = -3$
Ордината $y$ для этих точек задана вторым уравнением: $y=6$.
Таким образом, получаем две точки пересечения:
При $x_1=0$, $y_1=6$. Координаты первой точки: $(0, 6)$.
При $x_2=-3$, $y_2=6$. Координаты второй точки: $(-3, 6)$.
Ответ: $(0, 6), (-3, 6)$.

2) Дано:
$y = 5x+x^2+2$
$y = 2$
Найти:
Координаты точек пересечения графиков.
Решение:
Приравняем правые части уравнений. Для удобства запишем первое уравнение в стандартном виде $y = x^2+5x+2$.
$x^2+5x+2 = 2$
Перенесем 2 в левую часть уравнения:
$x^2+5x+2-2 = 0$
$x^2+5x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x+5) = 0$
Отсюда находим абсциссы точек пересечения:
$x_1 = 0$
$x_2+5 = 0 \implies x_2 = -5$
Ордината $y$ для этих точек равна 2.
Таким образом, точки пересечения имеют координаты: $(0, 2)$ и $(-5, 2)$.
Ответ: $(0, 2), (-5, 2)$.

3) Дано:
$y = 5+4x-x^2$
$y = x+1$
Найти:
Координаты точек пересечения графиков.
Решение:
Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:
$5+4x-x^2 = x+1$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$-x^2 + 4x - x + 5 - 1 = 0$
$-x^2 + 3x + 4 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1 для удобства решения:
$x^2 - 3x - 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1+x_2=3$, произведение корней $x_1x_2=-4$. Подбором находим корни: $x_1=4$ и $x_2=-1$.
Теперь найдем соответствующие ординаты $y$, подставляя найденные значения $x$ в более простое уравнение $y=x+1$.
При $x_1 = 4$: $y_1 = 4+1 = 5$. Координаты первой точки: $(4, 5)$.
При $x_2 = -1$: $y_2 = -1+1 = 0$. Координаты второй точки: $(-1, 0)$.
Ответ: $(4, 5), (-1, 0)$.

4) Дано:
$y = 4-x^2$
$y = x^2-2x$
Найти:
Координаты точек пересечения графиков.
Решение:
Приравняем правые части уравнений:
$4-x^2 = x^2-2x$
Перенесем все члены в одну сторону, например, в правую:
$0 = x^2 - 2x + x^2 - 4$
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $x_1+x_2=1$, произведение $x_1x_2=-2$. Корни: $x_1=2$ и $x_2=-1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем $y=4-x^2$.
При $x_1 = 2$: $y_1 = 4 - (2)^2 = 4-4 = 0$. Координаты первой точки: $(2, 0)$.
При $x_2 = -1$: $y_2 = 4 - (-1)^2 = 4-1 = 3$. Координаты второй точки: $(-1, 3)$.
Для проверки можно подставить значения во второе уравнение $y=x^2-2x$:
При $x_1=2$: $y_1=2^2-2(2) = 4-4=0$.
При $x_2=-1$: $y_2=(-1)^2-2(-1)=1+2=3$.
Результаты совпадают.
Ответ: $(2, 0), (-1, 3)$.