Номер 379, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

379.1) $y = \frac{3}{x}$, $y = 1$, $x = 1$;

2) $y = \frac{5}{x}$, $x + y = 6$;

3) $y = \frac{2}{x}$, $x + y = 3$;

4) $y = \frac{7}{x}$, $y = -1$, $x = -1$.

1) $y=\frac{3}{x}, y=1, x=1$

Дано:
Функция $y=\frac{3}{x}$ и прямые $y=1$, $x=1$.

Найти:
Координаты точек пересечения графика функции с каждой из прямых.

Решение:
Задача сводится к нахождению точек пересечения графика функции $y=\frac{3}{x}$ с каждой из данных прямых. Рассмотрим два случая.
1. Пересечение с прямой $y=1$.
Для этого решим систему уравнений: $\begin{cases} y = \frac{3}{x} \\ y = 1 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений: $\frac{3}{x} = 1$
Отсюда следует, что $x=3$.
Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(3, 1)$.
2. Пересечение с прямой $x=1$.
Для этого решим систему уравнений: $\begin{cases} y = \frac{3}{x} \\ x = 1 \end{cases}$
Подставим значение $x=1$ в первое уравнение: $y = \frac{3}{1} = 3$
Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(1, 3)$.

Ответ: Точки пересечения: $(3, 1)$ и $(1, 3)$.

2) $y=\frac{5}{x}, x+y=6$

Дано:
Система уравнений:
$\begin{cases} y = \frac{5}{x} \\ x+y=6 \end{cases}$

Найти:
Координаты точек пересечения $(x, y)$.

Решение:
Для нахождения точек пересечения решим данную систему уравнений. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 6 - x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$6 - x = \frac{5}{x}$
Умножим обе части уравнения на $x$ (при $x \ne 0$):
$x(6 - x) = 5$
$6x - x^2 = 5$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = 1$
$x_2 = 5$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя уравнение $y = 6 - x$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$.
Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 6 - 5 = 1$.
Таким образом, мы получили две точки пересечения: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Ответ: $(1, 5)$; $(5, 1)$.

3) $y=\frac{2}{x}, x+y=3$

Дано:
Система уравнений:
$\begin{cases} y = \frac{2}{x} \\ x+y=3 \end{cases}$

Найти:
Координаты точек пересечения $(x, y)$.

Решение:
Решим систему уравнений. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 3 - x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$3 - x = \frac{2}{x}$
Умножим обе части на $x$ (при $x \ne 0$):
$x(3 - x) = 2$
$3x - x^2 = 2$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корнями являются:
$x_1 = 1$
$x_2 = 2$
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ из уравнения $y = 3 - x$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 3 - 1 = 2$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = 3 - 2 = 1$.
Получили две точки пересечения: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 2)$; $(2, 1)$.

4) $y=\frac{7}{x}, y=-1, x=-1$

Дано:
Функция $y=\frac{7}{x}$ и прямые $y=-1$, $x=-1$.

Найти:
Координаты точек пересечения графика функции с каждой из прямых.

Решение:
Рассмотрим два независимых случая пересечения.
1. Пересечение с прямой $y=-1$.
Решим систему: $y = \frac{7}{x}$ и $y = -1$.
Приравняем правые части: $\frac{7}{x} = -1$
Отсюда $x = -7$.
Координаты первой точки пересечения: $(-7, -1)$.
2. Пересечение с прямой $x=-1$.
Решим систему: $y = \frac{7}{x}$ и $x = -1$.
Подставим $x=-1$ в уравнение функции:
$y = \frac{7}{-1} = -7$
Координаты второй точки пересечения: $(-1, -7)$.

Ответ: Точки пересечения: $(-7, -1)$ и $(-1, -7)$.