Номер 380, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите уравнения графическим способом (380–381):

380. 1) $3^x = x - 2;$

2) $\log_4 x = 2 - x;$

3) $(0,2)^x - x^2 = 0;$

4) $\log_{\frac{1}{5}} x = x^2 - 1.$

1) $3^x = x - 2$

Решение

Чтобы решить уравнение графически, построим в одной системе координат графики функций $y = 3^x$ и $y = x - 2$. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут являться решениями уравнения.

1. $y = 3^x$ — показательная функция. График проходит через точки (-1, 1/3), (0, 1), (1, 3), (2, 9). Функция возрастает на всей области определения.

2. $y = x - 2$ — линейная функция. График — прямая, проходящая через точки (0, -2) и (2, 0).

Из графика видно, что функции не пересекаются. Функция $y = 3^x$ всегда положительна, в то время как функция $y = x - 2$ принимает положительные значения только при $x > 2$. Однако при $x > 2$ показательная функция растет гораздо быстрее линейной, и их графики не пересекаются.

Ответ: нет решений.

2) $\log_4 x = 2 - x$

Решение

Решим уравнение графически, построив графики функций $y = \log_4 x$ и $y = 2 - x$. Абсцисса точки их пересечения будет решением уравнения.

1. $y = \log_4 x$ — логарифмическая функция. Область определения $x > 0$. График проходит через точки (1/4, -1), (1, 0), (4, 1). Функция возрастает на всей области определения.

2. $y = 2 - x$ — линейная функция. График — прямая, проходящая через точки (0, 2) и (2, 0). Функция убывает на всей области определения.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более одного раза.

Из графика видно, что функции пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки является единственным решением уравнения.

Ответ: уравнение имеет один корень (абсцисса точки пересечения на графике).

3) $(0,2)^x - x^2 = 0$

Решение

Перепишем уравнение в виде $(0,2)^x = x^2$. Для графического решения построим графики функций $y = (0,2)^x$ и $y = x^2$.

1. $y = (0,2)^x$ или $y = (1/5)^x$ — показательная функция. График проходит через точки (-1, 5), (0, 1), (1, 0,2). Функция убывает на всей области определения.

2. $y = x^2$ — квадратичная функция. График — парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви направлены вверх. Проходит через точки (-1, 1), (1, 1), (-2, 4), (2, 4).

На графике видно, что кривые пересекаются в одной точке при $x > 0$. При $x < 0$ график показательной функции $y = (0,2)^x$ лежит выше графика параболы $y = x^2$. Следовательно, уравнение имеет одно решение.

Ответ: уравнение имеет один корень (абсцисса точки пересечения на графике).

4) $\log_{1/5} x = x^2 - 1$

Решение

Для графического решения уравнения построим графики функций $y = \log_{1/5} x$ и $y = x^2 - 1$.

1. $y = \log_{1/5} x$ — логарифмическая функция. Может быть записана как $y = -\log_5 x$. Область определения $x > 0$. График проходит через точки (1/5, 1), (1, 0), (5, -1). Функция убывает на всей области определения.

2. $y = x^2 - 1$ — квадратичная функция. График — парабола с вершиной в точке (0, -1), ветви направлены вверх. На области $x>0$ функция возрастает.

Поскольку на общей области определения $x>0$ одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Проверим точку $x=1$:
$y_1(1) = \log_{1/5} 1 = 0$
$y_2(1) = 1^2 - 1 = 0$
Поскольку $y_1(1) = y_2(1)$, точка $x=1$ является решением уравнения.

Так как точка пересечения единственная, $x=1$ является единственным решением.

Ответ: $x=1$.