Номер 369, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

369.1)

1) $f(x) = \log_5 (x - 1);$

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} (2 + x);$

3) $f(x) = |\log_4 x|;$

4) $f(x) = |5^x - 5|.$

369.1)Решение:
Дана функция $f(x) = \log_5 (x - 1)$.
Область определения логарифмической функции $y = \log_a(t)$ определяется условием, что аргумент логарифма $t$ должен быть строго положительным ($t > 0$). Основание логарифма $a=5$ удовлетворяет условиям $a>0$ и $a \neq 1$.
В данном случае аргументом является выражение $(x - 1)$. Составим и решим соответствующее неравенство:
$x - 1 > 0$
Перенося -1 в правую часть, получаем:
$x > 1$
Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел, строго больших 1.
Ответ: $(1, +\infty)$.

2)Решение:
Дана функция $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} (2 + x)$.
Аналогично предыдущему пункту, область определения логарифмической функции находится из условия, что ее аргумент должен быть строго положительным. Основание логарифма $a=\frac{1}{3}$ удовлетворяет условиям ($a>0, a \neq 1$).
Аргументом функции является выражение $(2 + x)$. Составим и решим неравенство:
$2 + x > 0$
Вычитая 2 из обеих частей, получаем:
$x > -2$
Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел, строго больших -2.
Ответ: $(-2, +\infty)$.

3)Решение:
Дана функция $f(x) = |\log_4 x|$.
Эта функция представляет собой модуль (абсолютную величину) от логарифмической функции. Функция модуля определена для любого действительного значения своего аргумента. Поэтому область определения всей функции $f(x)$ совпадает с областью определения подмодульного выражения, то есть функции $g(x) = \log_4 x$.
Область определения функции $g(x) = \log_4 x$ определяется условием, что ее аргумент $x$ должен быть строго положительным.
$x > 0$
Таким образом, область определения исходной функции — это множество всех положительных действительных чисел.
Ответ: $(0, +\infty)$.

4)Решение:
Дана функция $f(x) = |5^x - 5|$.
Эта функция является композицией нескольких функций: показательной функции, вычитания константы и функции модуля.
1. Показательная функция $y=5^x$ определена для всех действительных чисел $x$, то есть при $x \in (-\infty, +\infty)$.
2. Разность $5^x - 5$ также определена для всех действительных чисел $x$.
3. Функция модуля $y=|t|$ определена для любого действительного числа $t$.
Поскольку ни одна из операций, составляющих данную функцию, не накладывает ограничений на переменную $x$, область определения функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $(-\infty, +\infty)$.