Страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

295. Заданы законы распределения точного попадания двух стрелков при одном выстреле:

Для распределения X:

$X$: 8, 8, 10

$p$: 0,4, 0,1, 0,5

Для распределения Y:

$Y$: 8, 9, 10

$p$: 0,2, 0,5, 0,3

Какой стрелок точно попадет в цель?

$M(X)$, $D(X)$, (X) $M(2X + 5)$, $D(2Y + 5)$

Чтобы определить, какой из стрелков точнее, необходимо сравнить числовые характеристики их законов распределения: математическое ожидание и дисперсию. Математическое ожидание показывает среднее значение, которое принимает случайная величина (в данном случае — количество выбитых очков), а дисперсия характеризует разброс (кучность) результатов относительно этого среднего значения. Более точным считается стрелок, у которого выше математическое ожидание и ниже дисперсия.

Дано:

Закон распределения для первого стрелка (случайная величина X):

Закон распределения для второго стрелка (случайная величина Y):

Найти:

Определить, какой стрелок точнее.

Решение:

В законе распределения первого стрелка значение $X=8$ указано дважды. Объединим эти события, сложив их вероятности:

$P(X=8) = 0,4 + 0,1 = 0,5$

Таким образом, закон распределения для первого стрелка (X) примет вид:

Проверим сумму вероятностей: $0,5 + 0,5 = 1$.

Расчет характеристик для первого стрелка (X)

1. Найдем математическое ожидание $M(X)$ по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$:

$M(X) = 8 \cdot 0,5 + 10 \cdot 0,5 = 4 + 5 = 9$

2. Найдем дисперсию $D(X)$ по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.

Сначала вычислим $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 8^2 \cdot 0,5 + 10^2 \cdot 0,5 = 64 \cdot 0,5 + 100 \cdot 0,5 = 32 + 50 = 82$

Теперь вычислим дисперсию:

$D(X) = 82 - 9^2 = 82 - 81 = 1$

Расчет характеристик для второго стрелка (Y)

1. Найдем математическое ожидание $M(Y)$:

$M(Y) = \sum y_i p_i = 8 \cdot 0,2 + 9 \cdot 0,5 + 10 \cdot 0,3 = 1,6 + 4,5 + 3,0 = 9,1$

2. Найдем дисперсию $D(Y)$:

Сначала вычислим $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 8^2 \cdot 0,2 + 9^2 \cdot 0,5 + 10^2 \cdot 0,3 = 64 \cdot 0,2 + 81 \cdot 0,5 + 100 \cdot 0,3 = 12,8 + 40,5 + 30 = 83,3$

Теперь вычислим дисперсию:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 83,3 - (9,1)^2 = 83,3 - 82,81 = 0,49$

Сравнение и вывод

Сравним полученные характеристики для обоих стрелков:

Математическое ожидание: $M(X) = 9$, $M(Y) = 9,1$. Поскольку $M(Y) > M(X)$, второй стрелок в среднем выбивает больше очков.

Дисперсия: $D(X) = 1$, $D(Y) = 0,49$. Поскольку $D(Y) < D(X)$, результаты второго стрелка имеют меньший разброс, то есть его стрельба более стабильна и кучна.

Так как у второго стрелка и средний результат выше, и разброс результатов меньше, он является более точным стрелком.

Ответ: Второй стрелок попадает в цель точнее.

296. Найдите величины $M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X)$, $M(2X + 5)$, $D(2X + 5)$,

если закон распределения случайной величины задан таблицей:

X 2 3 4 5

p 0,3 0,1 0,5 0,1

Дано:

Закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей:

Найти:

$M(X), D(X), \sigma(X), M(2X + 5), D(2X + 5)$

Решение:

M(X)

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Подставляем значения из таблицы:

$M(X) = 2 \cdot 0,3 + 3 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,5 + 5 \cdot 0,1$

$M(X) = 0,6 + 0,3 + 2,0 + 0,5 = 3,4$

Ответ: $M(X) = 3,4$

D(X)

Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

$M(X^2) = 2^2 \cdot 0,3 + 3^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,5 + 5^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 4 \cdot 0,3 + 9 \cdot 0,1 + 16 \cdot 0,5 + 25 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 1,2 + 0,9 + 8,0 + 2,5 = 12,6$

Теперь вычислим дисперсию:

$D(X) = 12,6 - (3,4)^2 = 12,6 - 11,56 = 1,04$

Ответ: $D(X) = 1,04$

σ(X)

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

$\sigma(X) = \sqrt{1,04}$

Ответ: $\sigma(X) = \sqrt{1,04}$

M(2X + 5)

Для нахождения математического ожидания линейного преобразования случайной величины $Y = aX + b$ используется свойство математического ожидания: $M(aX + b) = aM(X) + b$.

В нашем случае $a=2$ и $b=5$.

$M(2X + 5) = 2 \cdot M(X) + 5$

Мы уже вычислили $M(X) = 3,4$.

$M(2X + 5) = 2 \cdot 3,4 + 5 = 6,8 + 5 = 11,8$

Ответ: $M(2X + 5) = 11,8$

D(2X + 5)

Для нахождения дисперсии линейного преобразования случайной величины $Y = aX + b$ используется свойство дисперсии: $D(aX + b) = a^2D(X)$.

В нашем случае $a=2$ и $b=5$.

$D(2X + 5) = 2^2 \cdot D(X)$

Мы уже вычислили $D(X) = 1,04$.

$D(2X + 5) = 4 \cdot 1,04 = 4,16$

Ответ: $D(2X + 5) = 4,16$

297. $X(-1; 0; 1)$ и $M(X) = 0,1$; $M(X^2) = 0,9$. Найдите вероятности, соответствующие значениям случайной величины, и составьте закон распределения.

Дано:

Дискретная случайная величина $X$ с возможными значениями $\{-1; 0; 1\}$.

Математическое ожидание $M(X) = 0,1$.

Математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2) = 0,9$.

Найти:

Вероятности, соответствующие значениям случайной величины, и составить закон распределения.

Решение:

Пусть $p_1, p_2, p_3$ — это вероятности, соответствующие значениям $x_1 = -1$, $x_2 = 0$ и $x_3 = 1$ соответственно. То есть $p_1 = P(X=-1)$, $p_2 = P(X=0)$, $p_3 = P(X=1)$.

Сумма всех вероятностей для любого закона распределения равна 1, поэтому мы можем записать первое уравнение:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$ (1)

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$. Используя данные из условия, получаем второе уравнение:

$M(X) = (-1) \cdot p_1 + 0 \cdot p_2 + 1 \cdot p_3 = 0,1$

$-p_1 + p_3 = 0,1$ (2)

Математическое ожидание $M(X^2)$ вычисляется по формуле $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$. Используя данные из условия, получаем третье уравнение:

$M(X^2) = (-1)^2 \cdot p_1 + 0^2 \cdot p_2 + 1^2 \cdot p_3 = 0,9$

$p_1 + p_3 = 0,9$ (3)

Таким образом, мы имеем систему из трех линейных уравнений:

$ \begin{cases} p_1 + p_2 + p_3 = 1 \\ -p_1 + p_3 = 0,1 \\ p_1 + p_3 = 0,9 \end{cases} $

Для решения системы сложим уравнения (2) и (3):

$(-p_1 + p_3) + (p_1 + p_3) = 0,1 + 0,9$

$2p_3 = 1 \Rightarrow p_3 = 0,5$

Подставим значение $p_3$ в уравнение (3):

$p_1 + 0,5 = 0,9 \Rightarrow p_1 = 0,4$

Подставим найденные значения $p_1$ и $p_3$ в уравнение (1):

$0,4 + p_2 + 0,5 = 1$

$0,9 + p_2 = 1 \Rightarrow p_2 = 0,1$

Итак, искомые вероятности: $p_1=P(X=-1)=0,4$, $p_2=P(X=0)=0,1$, $p_3=P(X=1)=0,5$.

Ответ:

Вероятности, соответствующие значениям случайной величины: $P(X=-1)=0,4$; $P(X=0)=0,1$; $P(X=1)=0,5$.

Закон распределения в виде таблицы:

298. X и Y – независимые случайные величины, причем $D(X)=2$, $D(Y)=5$. Вычислите $D(3X + Y)$ и $D(3Y - 2X)$.

Дано:

Случайные величины $X$ и $Y$ независимы.

Дисперсия случайной величины $X$: $D(X) = 2$.

Дисперсия случайной величины $Y$: $D(Y) = 5$.

Найти:

$D(3X + Y)$ и $D(3Y - 2X)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами дисперсии для независимых случайных величин $X$ и $Y$ и констант $a, b$:

1. Вынесение константы за знак дисперсии: $D(aX) = a^2D(X)$.

2. Дисперсия суммы независимых величин: $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$.

3. Дисперсия разности независимых величин: $D(X - Y) = D(X) + D(Y)$.

Из этих свойств следует общая формула для линейной комбинации: $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$.

D(3X + Y)

Так как случайные величины $X$ и $Y$ независимы, то и величины $3X$ и $Y$ также независимы. Используем свойство дисперсии суммы независимых случайных величин и свойство вынесения константы:

$D(3X + Y) = D(3X) + D(Y) = 3^2 D(X) + D(Y)$

Подставляем заданные значения $D(X) = 2$ и $D(Y) = 5$:

$D(3X + Y) = 9 \cdot 2 + 5 = 18 + 5 = 23$

Ответ: $D(3X + Y) = 23$.

D(3Y - 2X)

Аналогично, величины $3Y$ и $2X$ независимы. Используем свойство дисперсии разности независимых случайных величин и свойство вынесения констант:

$D(3Y - 2X) = D(3Y) + D(2X) = 3^2 D(Y) + 2^2 D(X)$

Подставляем заданные значения $D(X) = 2$ и $D(Y) = 5$:

$D(3Y - 2X) = 9 \cdot 5 + 4 \cdot 2 = 45 + 8 = 53$

Ответ: $D(3Y - 2X) = 53$.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Имеются четыре стандартных и одна нестандартная деталь. Случайно выбираются две детали. Найдите вероятность того, что выбранные две детали окажутся стандартными:

A. 0,4;

B. 0,6;

C. 0,5;

D. 0,7.

2. Задан неполный закон распределения случайной величины $X$:

X: 5, 8, 12, 15, 18

p: 0,2, ?, ?, ?, 0,2

Если есть неизвестные вероятности, пропорциональные числам $1:2:1$, то заполните таблицу закона распределения:

A.

X: 5, 8, 12, 15, 18

p: 0,2, 0,1, 0,2, 0,1, 0,2

B.

X: 5, 8, 12, 15, 8

p: 0,2, 0,2, 0,2, 0,2, 0,2

C.

X: 5, 8, 12, 15, 18

p: 0,2, 0,15, 3, 0,15, 0,2

D.

X: 5, 8, 12, 15, 18

p: 0,2, 0,1, 0,3, 0,1, 0,2

3. Неполный закон распределения случайной величины $X$ задан в следующем виде:

X: 5, ?, ?, ?, 17

p: 0,05, ?, ?, ?, 0,05

Заполните таблицу закона распределения, если неизвестные значения случайной величины $X$ вместе с данными значениями составляют арифметическую прогрессию, а соответствующие им значения вероятностей между собой равны, то:

A.

X: 5, 8, 11, 14, 17

p: 0,05, 0,3, 0,3, 0,3, 0,05

B.

X: 5, 8, 12, 15, 17

p: 0,02, 0,3, 0,3, 0,3, 0,08

C.

X: 5, 8, 11, 14, 17

p: 0,05, 0,2, 0,3, 0,4, 0,05

D.

X: 5, 8, 12, 15, 18

p: 0,05, 0,3, 0,3, 0,3, 0,05

4. Дан закон распределения случайной величины $X$:

X: 1, 3, 5, 8, 12

p: 0,125, 0,25, 0,25, 0,25, 0,125

Найдите значения $M(X)$, $M(X - M(X))$, $M(5X)$:

A. 5,625; 0; 28,25;

B. 28,125; 5,65; 0;

C. 5,625; 0; 28,125;

D. 5,65; 0; 28,25.

5. Закон распределения случайной величины задан следующей таблицей:

X: 3, 7, 11, 16, 18

p: 0,1, 0,2, 0,4, 0,2, 0,1

Вычислите дисперсию и среднее квадратичное отклонение:

A. $D(X) = 20,25$, $\sigma(X) = 4,5;

B. $D(X) = 4,4$, $\sigma(X) = 19,49;

C. $D(X) = 12,25$, $\sigma(X) = 3,5;

D. $D(X) = 19,49$, $\sigma(X) \approx 4,4.

6. По заданному закону распределения случайной величины найдите $M(X), D(X), \sigma(X)$:

X: 2, 4, 7, 9, 11

p: 0,1, 0,2, 0,4, 0,2, 0,1

A. $M(x) = 6,7$, $D(x) = 6,61$, $\sigma(x) \approx 2,57;

B. $M(x) = 6$, $D(x) = 5$, $\sigma(x) = \sqrt{5};

C. $M(x) = 6,61$, $D(x) = 6,7$, $\sigma(x) = 2;

D. $M(x) = 6$, $D(x) = 4$, $\sigma(x) = 2.

7. Законы распределения случайных величин $X$ и $Y$ заданы соответственно таблицами:

X: 1, 3, 5, 7, 9

p: 0,1, 0,2, 0,3, 0,3, 0,1

X: 3, 5, 8, 12, 15

p: 0,1, 0,3, 0,3, 0,2, 0,1

Вычислите: 1) $M(3X - 4Y)$; 2) $D(2X + 3Y)$:

A. 7,5; 60,59;

B. 2,3; 60,59;

C. 7,5; 139,33;

D. 2,3; 139,33.

8. Вероятность попадания с одного выстрела в цель первого стрелка — $0,9$, а вероятность второго стрелка — $0,95$. Если случайная величина $X$ — число попадания в цель, то составьте закон распределения случайной величины X:

A.

X: 0, 1, 2

p: 0,14, 0,855, 0,005

B.

X: 0, 1, 2

p: 0,14, 0,005, 0,855

C.

X: 0, 1, 2

p: 0,855, 0,14, 0,005

D.

X: 0, 1, 2

p: 0,005, 0,14, 0,855

9. Экзаменационные билеты состоят из трех вопросов. Вероятность ответа ученика на любой вопрос равна $0,8$. Случайная величина $X$ — это число вопросов, на которые может ответить ученик. Составьте закон распределения этой величины:

A.

X: 0, 1, 2, 3

p: 0,008, 0,096, 0,384, 0,512

B.

X: 0, 1, 2, 3

p: 0,512, 0,096, 0,384, 0,008

C.

X: 0, 1, 2, 3

p: 0,096, 0,384, 0,008, 0,512

D.

X: 0, 1, 2, 3

p: 0,384, 0,008, 0,512, 0,096

1. Решение:

Всего деталей $4$ стандартных + $1$ нестандартная = $5$ деталей.

Общее число способов выбрать $2$ детали из $5$ равно числу сочетаний $C_5^2$.

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{20}{2} = 10$.

Число способов выбрать $2$ стандартные детали из $4$ имеющихся стандартных равно $C_4^2$.

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{2! \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 1 \cdot 2!} = \frac{12}{2} = 6$.

Вероятность того, что обе выбранные детали окажутся стандартными, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{C_4^2}{C_5^2} = \frac{6}{10} = 0,6$.

Ответ: B. 0,6

2. Решение:

Сумма всех вероятностей в законе распределения должна быть равна 1: $\sum p_i = 1$.

Известные вероятности: $p_1 = P(X=5) = 0,2$ и $p_5 = P(X=18) = 0,2$.

Сумма известных вероятностей: $0,2 + 0,2 = 0,4$.

Следовательно, сумма неизвестных вероятностей ($p_2, p_3, p_4$) равна $1 - 0,4 = 0,6$.

По условию, эти вероятности пропорциональны числам $1:2:1$. Обозначим их как $k, 2k, k$.

Их сумма равна $k + 2k + k = 4k$.

Приравниваем сумму к известному значению: $4k = 0,6$.

Отсюда находим коэффициент пропорциональности $k = \frac{0,6}{4} = 0,15$.

Тогда неизвестные вероятности равны:

$p_2 = P(X=8) = k = 0,15$.

$p_3 = P(X=12) = 2k = 2 \cdot 0,15 = 0,30$.

$p_4 = P(X=15) = k = 0,15$.

Заполненная таблица закона распределения выглядит так:

| X | 5 | 8 | 12 | 15 | 18 |

| p | 0,2 | 0,15 | 0,3 | 0,15 | 0,2 |

Этот результат соответствует варианту C (с учётом возможной опечатки в отображении числа 3 вместо 0,3).

Ответ: C.

3. Решение:

По условию, значения случайной величины $X$ составляют арифметическую прогрессию. Обозначим их $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$.

Известны первый и пятый члены прогрессии: $x_1 = 5$ и $x_5 = 17$.

Для арифметической прогрессии $x_n = x_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.

$x_5 = x_1 + 4d \Rightarrow 17 = 5 + 4d \Rightarrow 4d = 12 \Rightarrow d = 3$.

Находим неизвестные значения $X$:

$x_2 = x_1 + d = 5 + 3 = 8$.

$x_3 = x_2 + d = 8 + 3 = 11$.

$x_4 = x_3 + d = 11 + 3 = 14$.

Таким образом, ряд значений $X$: 5, 8, 11, 14, 17.

Сумма всех вероятностей равна 1. Известны вероятности $p_1=0,05$ и $p_5=0,05$.

По условию, соответствующие неизвестным значениям вероятности ($p_2, p_3, p_4$) равны между собой. Обозначим их как $p$.

$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 = 1$.

$0,05 + p + p + p + 0,05 = 1$.

$3p + 0,1 = 1 \Rightarrow 3p = 0,9 \Rightarrow p = 0,3$.

Заполненная таблица закона распределения:

| X | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 |

| p | 0,05 | 0,3 | 0,3 | 0,3 | 0,05 |

Этот результат соответствует варианту A.

Ответ: A.

4. Дано:

Закон распределения X:

| X | 1 | 3 | 5 | 8 | 12 |

| p | 0,125 | 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,125 |

Найти:

$M(X)$, $M[X – M(X)]$, $M(5X)$.

Решение:

1. Найдем математическое ожидание $M(X)$ по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$.

$M(X) = 1 \cdot 0,125 + 3 \cdot 0,25 + 5 \cdot 0,25 + 8 \cdot 0,25 + 12 \cdot 0,125 = 0,125 + 0,75 + 1,25 + 2,0 + 1,5 = 5,625$.

2. Найдем $M[X – M(X)]$. Используем свойство математического ожидания $M(X - C) = M(X) - C$, где $C$ — константа. В данном случае $C = M(X)$.

$M[X – M(X)] = M(X) - M(X) = 0$.

3. Найдем $M(5X)$. Используем свойство математического ожидания $M(CX) = C \cdot M(X)$.

$M(5X) = 5 \cdot M(X) = 5 \cdot 5,625 = 28,125$.

Искомые значения: $5,625$; $0$; $28,125$. Это соответствует варианту C.

Ответ: C. 5,625; 0; 28,125

5. Дано:

Закон распределения X:

| X | 3 | 7 | 11 | 16 | 18 |

| p | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |

Найти:

$D(X)$ и $\sigma(X)$.

Решение:

1. Вычислим математическое ожидание $M(X) = \sum x_i p_i$.

$M(X) = 3 \cdot 0,1 + 7 \cdot 0,2 + 11 \cdot 0,4 + 16 \cdot 0,2 + 18 \cdot 0,1 = 0,3 + 1,4 + 4,4 + 3,2 + 1,8 = 11,1$.

2. Вычислим дисперсию $D(X)$ по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.

Сначала найдем $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$.

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,1 + 7^2 \cdot 0,2 + 11^2 \cdot 0,4 + 16^2 \cdot 0,2 + 18^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 9 \cdot 0,1 + 49 \cdot 0,2 + 121 \cdot 0,4 + 256 \cdot 0,2 + 324 \cdot 0,1 = 0,9 + 9,8 + 48,4 + 51,2 + 32,4 = 142,7$.

$D(X) = 142,7 - (11,1)^2 = 142,7 - 123,21 = 19,49$.

3. Вычислим среднее квадратичное отклонение $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.

$\sigma(X) = \sqrt{19,49} \approx 4,415$. Округляя, получаем $\approx 4,4$.

Искомые значения: $D(X) = 19,49$, $\sigma(X) \approx 4,4$. Это соответствует варианту D.

Ответ: D. $D(X) = 19,49, \sigma(X) \approx 4,4$

6. Дано:

Закон распределения X:

| X | 2 | 4 | 7 | 9 | 11 |

| p | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |

Найти:

$M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X)$.

Решение:

1. Вычислим математическое ожидание $M(X) = \sum x_i p_i$.

$M(X) = 2 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,2 + 7 \cdot 0,4 + 9 \cdot 0,2 + 11 \cdot 0,1 = 0,2 + 0,8 + 2,8 + 1,8 + 1,1 = 6,7$.

2. Вычислим дисперсию $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.

Сначала найдем $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$.

$M(X^2) = 2^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,2 + 7^2 \cdot 0,4 + 9^2 \cdot 0,2 + 11^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 4 \cdot 0,1 + 16 \cdot 0,2 + 49 \cdot 0,4 + 81 \cdot 0,2 + 121 \cdot 0,1 = 0,4 + 3,2 + 19,6 + 16,2 + 12,1 = 51,5$.

$D(X) = 51,5 - (6,7)^2 = 51,5 - 44,89 = 6,61$.

3. Вычислим среднее квадратичное отклонение $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.

$\sigma(X) = \sqrt{6,61} \approx 2,57$.

Искомые значения: $M(X) = 6,7$, $D(X) = 6,61$, $\sigma(X) \approx 2,57$. Это соответствует варианту A.

Ответ: A. $M(x) = 6,7, D(x) = 6,61, \sigma(x) \approx 2,57$

7. Дано:

Закон распределения X: | X | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |; | p | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |

Закон распределения Y: | Y | 3 | 5 | 8 | 12 | 15 |; | p | 0,1 | 0,3 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |

Найти:

1) $M(3X-4Y)$; 2) $D(2X+3Y)$.

Решение:

Предполагаем, что случайные величины X и Y независимы.

1. Вычислим $M(X)$ и $D(X)$:

$M(X) = 1(0,1) + 3(0,2) + 5(0,3) + 7(0,3) + 9(0,1) = 0,1 + 0,6 + 1,5 + 2,1 + 0,9 = 5,2$.

$M(X^2) = 1^2(0,1) + 3^2(0,2) + 5^2(0,3) + 7^2(0,3) + 9^2(0,1) = 0,1 + 1,8 + 7,5 + 14,7 + 8,1 = 32,2$.

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 32,2 - (5,2)^2 = 32,2 - 27,04 = 5,16$.

2. Вычислим $M(Y)$ и $D(Y)$:

$M(Y) = 3(0,1) + 5(0,3) + 8(0,3) + 12(0,2) + 15(0,1) = 0,3 + 1,5 + 2,4 + 2,4 + 1,5 = 8,1$.

$M(Y^2) = 3^2(0,1) + 5^2(0,3) + 8^2(0,3) + 12^2(0,2) + 15^2(0,1) = 0,9 + 7,5 + 19,2 + 28,8 + 22,5 = 78,9$.

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 78,9 - (8,1)^2 = 78,9 - 65,61 = 13,29$.

3. Вычислим искомые величины:

$M(3X - 4Y) = 3M(X) - 4M(Y) = 3(5,2) - 4(8,1) = 15,6 - 32,4 = -16,8$.

$D(2X + 3Y) = D(2X) + D(3Y) = 2^2 D(X) + 3^2 D(Y) = 4(5,16) + 9(13,29) = 20,64 + 119,61 = 140,25$.

Полученные результаты $(-16,8; 140,25)$ не совпадают ни с одним из предложенных вариантов. Вероятнее всего, в условии задачи или в вариантах ответа есть опечатка. Однако, вычисленное значение дисперсии $140,25$ наиболее близко к значению $139,33$ в вариантах C и D. Значение математического ожидания из вариантов не соответствует расчетам. Выбираем ответ, наиболее близкий по значению дисперсии.

Ответ: C. 7,5; 139,33

8. Дано:

Вероятность попадания первого стрелка $P_1 = 0,9$.

Вероятность попадания второго стрелка $P_2 = 0,95$.

Случайная величина X — число попаданий в цель (при одном выстреле каждого стрелка).

Найти:

Закон распределения случайной величины X.

Решение:

Случайная величина X может принимать значения $0, 1, 2$. Выстрелы стрелков — независимые события.

Вероятности промаха для каждого стрелка:

$Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,9 = 0,1$.

$Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,95 = 0,05$.

Найдем вероятности для каждого значения X:

$P(X=0)$ (оба промахнулись): $P(X=0) = Q_1 \cdot Q_2 = 0,1 \cdot 0,05 = 0,005$.

$P(X=2)$ (оба попали): $P(X=2) = P_1 \cdot P_2 = 0,9 \cdot 0,95 = 0,855$.

$P(X=1)$ (попал ровно один): это сумма вероятностей двух несовместных событий: (1-й попал, 2-й промахнулся) ИЛИ (1-й промахнулся, 2-й попал).

$P(X=1) = P_1 \cdot Q_2 + Q_1 \cdot P_2 = 0,9 \cdot 0,05 + 0,1 \cdot 0,95 = 0,045 + 0,095 = 0,140$.

Проверка: $0,005 + 0,140 + 0,855 = 1,000$.

Закон распределения:

| X | 0 | 1 | 2 |

| p | 0,005 | 0,14 | 0,855 |

Этот результат соответствует варианту D.

Ответ: D.

9. Дано:

Число вопросов в билете (испытаний) $n = 3$.

Вероятность правильного ответа на один вопрос (успеха) $p = 0,8$.

Случайная величина X — число правильных ответов.

Найти:

Закон распределения случайной величины X.

Решение:

Данная задача описывается биномиальным распределением. Вероятность $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях находится по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $q = 1-p$ — вероятность неудачи.

$q = 1 - 0,8 = 0,2$.

Случайная величина X может принимать значения $0, 1, 2, 3$.

$P(X=0) = C_3^0 \cdot (0,8)^0 \cdot (0,2)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,008 = 0,008$.

$P(X=1) = C_3^1 \cdot (0,8)^1 \cdot (0,2)^2 = 3 \cdot 0,8 \cdot 0,04 = 0,096$.

$P(X=2) = C_3^2 \cdot (0,8)^2 \cdot (0,2)^1 = 3 \cdot 0,64 \cdot 0,2 = 0,384$.

$P(X=3) = C_3^3 \cdot (0,8)^3 \cdot (0,2)^0 = 1 \cdot 0,512 \cdot 1 = 0,512$.

Проверка: $0,008 + 0,096 + 0,384 + 0,512 = 1,000$.

Закон распределения:

| X | 0 | 1 | 2 | 3 |

| p | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |

Этот результат соответствует варианту A.

Ответ: A.