Номер 297, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

297. $X(-1; 0; 1)$ и $M(X) = 0,1$; $M(X^2) = 0,9$. Найдите вероятности, соответствующие значениям случайной величины, и составьте закон распределения.

Дано:

Дискретная случайная величина $X$ с возможными значениями $\{-1; 0; 1\}$.

Математическое ожидание $M(X) = 0,1$.

Математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2) = 0,9$.

Найти:

Вероятности, соответствующие значениям случайной величины, и составить закон распределения.

Решение:

Пусть $p_1, p_2, p_3$ — это вероятности, соответствующие значениям $x_1 = -1$, $x_2 = 0$ и $x_3 = 1$ соответственно. То есть $p_1 = P(X=-1)$, $p_2 = P(X=0)$, $p_3 = P(X=1)$.

Сумма всех вероятностей для любого закона распределения равна 1, поэтому мы можем записать первое уравнение:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$ (1)

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$. Используя данные из условия, получаем второе уравнение:

$M(X) = (-1) \cdot p_1 + 0 \cdot p_2 + 1 \cdot p_3 = 0,1$

$-p_1 + p_3 = 0,1$ (2)

Математическое ожидание $M(X^2)$ вычисляется по формуле $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$. Используя данные из условия, получаем третье уравнение:

$M(X^2) = (-1)^2 \cdot p_1 + 0^2 \cdot p_2 + 1^2 \cdot p_3 = 0,9$

$p_1 + p_3 = 0,9$ (3)

Таким образом, мы имеем систему из трех линейных уравнений:

$ \begin{cases} p_1 + p_2 + p_3 = 1 \\ -p_1 + p_3 = 0,1 \\ p_1 + p_3 = 0,9 \end{cases} $

Для решения системы сложим уравнения (2) и (3):

$(-p_1 + p_3) + (p_1 + p_3) = 0,1 + 0,9$

$2p_3 = 1 \Rightarrow p_3 = 0,5$

Подставим значение $p_3$ в уравнение (3):

$p_1 + 0,5 = 0,9 \Rightarrow p_1 = 0,4$

Подставим найденные значения $p_1$ и $p_3$ в уравнение (1):

$0,4 + p_2 + 0,5 = 1$

$0,9 + p_2 = 1 \Rightarrow p_2 = 0,1$

Итак, искомые вероятности: $p_1=P(X=-1)=0,4$, $p_2=P(X=0)=0,1$, $p_3=P(X=1)=0,5$.

Ответ:

Вероятности, соответствующие значениям случайной величины: $P(X=-1)=0,4$; $P(X=0)=0,1$; $P(X=1)=0,5$.

Закон распределения в виде таблицы: