Номер 303, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

I. Вычисления. Упражнения для повторения курса 'Алгебра и начала анализа' для 11 класса - номер 303, страница 146.

Условие.

303.1)

$\int_{0}^{2} (e^{3x} + 1)dx;$

2) $\int_{1}^{e} \frac{x^2+1}{2x^3} dx;$

3) $\int_{-1}^{0} \frac{3}{(5x-1)^3} dx;$

4) $\int_{0}^{4} \frac{4}{(2x+1)^3} dx.$

Решение.

Решение 2 (rus).

1) Дано:
Интеграл $\int_{0}^{2} (e^{3x} + 1) dx$.
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = e^{3x} + 1$.
$F(x) = \int (e^{3x} + 1) dx = \int e^{3x} dx + \int 1 dx = \frac{1}{3}e^{3x} + x$.
Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:
$\int_{0}^{2} (e^{3x} + 1) dx = \left. \left( \frac{1}{3}e^{3x} + x \right) \right|_{0}^{2} = \left( \frac{1}{3}e^{3 \cdot 2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3}e^{3 \cdot 0} + 0 \right)$
$= \left( \frac{e^6}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3}e^{0} \right) = \frac{e^6}{3} + 2 - \frac{1}{3} = \frac{e^6}{3} + \frac{5}{3} = \frac{e^6 + 5}{3}$.
Ответ: $\frac{e^6 + 5}{3}$.

2) Дано:
Интеграл $\int_{1}^{e} \frac{x^2 + 1}{2x^3} dx$.
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Сначала преобразуем подынтегральную функцию, разделив числитель на знаменатель:
$\frac{x^2 + 1}{2x^3} = \frac{x^2}{2x^3} + \frac{1}{2x^3} = \frac{1}{2x} + \frac{1}{2}x^{-3}$.
Теперь найдем первообразную для полученной функции:
$F(x) = \int \left(\frac{1}{2x} + \frac{1}{2}x^{-3}\right) dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2}\int x^{-3} dx = \frac{1}{2}\ln|x| + \frac{1}{2}\frac{x^{-2}}{-2} = \frac{1}{2}\ln|x| - \frac{1}{4x^2}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница. Так как пределы интегрирования от $1$ до $e$, то $x > 0$ и $|x| = x$.
$\int_{1}^{e} \frac{x^2 + 1}{2x^3} dx = \left. \left( \frac{1}{2}\ln x - \frac{1}{4x^2} \right) \right|_{1}^{e} = \left( \frac{1}{2}\ln e - \frac{1}{4e^2} \right) - \left( \frac{1}{2}\ln 1 - \frac{1}{4 \cdot 1^2} \right)$
$= \left( \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{4e^2} \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4e^2} - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4e^2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4e^2}$.
Ответ: $\frac{3}{4} - \frac{1}{4e^2}$.

3) Дано:
Интеграл $\int_{-1}^{0} \frac{3}{(5x - 1)^3} dx$.
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Найдем первообразную функции $f(x) = \frac{3}{(5x-1)^3} = 3(5x-1)^{-3}$.
Для этого воспользуемся методом замены переменной. Пусть $u = 5x - 1$, тогда $du = 5dx$, откуда $dx = \frac{du}{5}$.
$\int 3(5x-1)^{-3} dx = \int 3u^{-3} \frac{du}{5} = \frac{3}{5} \int u^{-3} du = \frac{3}{5} \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{3}{10}u^{-2} + C = -\frac{3}{10(5x-1)^2} + C$.
Таким образом, первообразная $F(x) = -\frac{3}{10(5x-1)^2}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{0} \frac{3}{(5x - 1)^3} dx = \left. \left( -\frac{3}{10(5x-1)^2} \right) \right|_{-1}^{0} = \left( -\frac{3}{10(5 \cdot 0 - 1)^2} \right) - \left( -\frac{3}{10(5(-1) - 1)^2} \right)$
$= \left( -\frac{3}{10(-1)^2} \right) - \left( -\frac{3}{10(-6)^2} \right) = -\frac{3}{10} - \left( -\frac{3}{10 \cdot 36} \right) = -\frac{3}{10} + \frac{3}{360} = -\frac{3}{10} + \frac{1}{120}$
$= -\frac{3 \cdot 12}{120} + \frac{1}{120} = \frac{-36 + 1}{120} = -\frac{35}{120} = -\frac{7}{24}$.
Ответ: $-\frac{7}{24}$.

4) Дано:
Интеграл $\int_{0}^{4} \frac{4}{(2x + 1)^3} dx$.
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Найдем первообразную функции $f(x) = \frac{4}{(2x+1)^3} = 4(2x+1)^{-3}$.
Используем замену переменной: $u = 2x + 1$, тогда $du = 2dx$, откуда $dx = \frac{du}{2}$.
$\int 4(2x+1)^{-3} dx = \int 4u^{-3} \frac{du}{2} = 2 \int u^{-3} du = 2 \frac{u^{-2}}{-2} + C = -u^{-2} + C = -\frac{1}{(2x+1)^2} + C$.
Первообразная $F(x) = -\frac{1}{(2x+1)^2}$.
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{4} \frac{4}{(2x + 1)^3} dx = \left. \left( -\frac{1}{(2x+1)^2} \right) \right|_{0}^{4} = \left( -\frac{1}{(2 \cdot 4 + 1)^2} \right) - \left( -\frac{1}{(2 \cdot 0 + 1)^2} \right)$
$= \left( -\frac{1}{9^2} \right) - \left( -\frac{1}{1^2} \right) = -\frac{1}{81} - (-1) = 1 - \frac{1}{81} = \frac{81 - 1}{81} = \frac{80}{81}$.
Ответ: $\frac{80}{81}$.