Номер 306, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

306. 1) $\sqrt[4]{10-\sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10+\sqrt{19}}$;

2) $\sqrt[5]{7+\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7-\sqrt{17}}$;

3) $\sqrt[6]{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt[6]{9-\sqrt{17}}$;

4) $\sqrt[7]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[7]{7+4\sqrt{3}}$.

1)

Дано:

Выражение $\sqrt[4]{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 + \sqrt{19}}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Для вычисления произведения корней одинаковой степени воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[4]{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 + \sqrt{19}} = \sqrt[4]{(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19})}$

Выражение под корнем представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=10$ и $b=\sqrt{19}$.

$(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19}) = 10^2 - (\sqrt{19})^2 = 100 - 19 = 81$.

Следовательно, исходное выражение равно $\sqrt[4]{81}$.

Так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, то $\sqrt[4]{81} = 3$.

Ответ: 3.

2)

Дано:

Выражение $\sqrt[5]{7 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7 - \sqrt{17}}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[5]{7 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7 - \sqrt{17}} = \sqrt[5]{(7 + \sqrt{17})(7 - \sqrt{17})}$.

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к выражению под корнем, где $a=7$ и $b=\sqrt{17}$.

$(7 + \sqrt{17})(7 - \sqrt{17}) = 7^2 - (\sqrt{17})^2 = 49 - 17 = 32$.

Таким образом, получаем $\sqrt[5]{32}$.

Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.

Ответ: 2.

3)

Дано:

Выражение $\sqrt[6]{9 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[6]{9 - \sqrt{17}}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[6]{9 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[6]{9 - \sqrt{17}} = \sqrt[6]{(9 + \sqrt{17})(9 - \sqrt{17})}$.

Выражение в скобках является разностью квадратов, где $a=9$ и $b=\sqrt{17}$.

$(9 + \sqrt{17})(9 - \sqrt{17}) = 9^2 - (\sqrt{17})^2 = 81 - 17 = 64$.

Получаем выражение $\sqrt[6]{64}$.

Так как $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.

Ответ: 2.

4)

Дано:

Выражение $\sqrt[7]{7 - 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[7]{7 + 4\sqrt{3}}$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Применим свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[7]{7 - 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[7]{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt[7]{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})}$.

Под корнем находится произведение вида $(a-b)(a+b)$, которое равно $a^2 - b^2$. В данном случае $a=7$ и $b=4\sqrt{3}$.

$(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (4^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.

Следовательно, исходное выражение равно $\sqrt[7]{1}$.

Корень любой натуральной степени из единицы равен единице, поэтому $\sqrt[7]{1} = 1$.

Ответ: 1.