Номер 301, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

301.1) $\int_1^2 (x^3 + x^{-3})dx$

2) $\int_4^9 \left(\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}\right) dx$

3) $\int_{-2}^{-1} (5 - 3x^{-2} - 3x^2)dx$

4) $\int_8^{27} \left(x^{\frac{2}{3}} + 3x^{-\frac{2}{3}}\right) dx$

1)

Решение

Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} (x^3 + x^{-3}) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = x^3 + x^{-3}$. Используем табличное значение $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (x^3 + x^{-3}) dx = \int x^3 dx + \int x^{-3} dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^4}{4} + \frac{x^{-2}}{-2} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2x^2}$.

2. Вычислим значения первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

$F(2) = \frac{2^4}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^2} = \frac{16}{4} - \frac{1}{8} = 4 - \frac{1}{8} = \frac{32}{8} - \frac{1}{8} = \frac{31}{8}$.

$F(1) = \frac{1^4}{4} - \frac{1}{2 \cdot 1^2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

3. Найдем значение интеграла как разность значений первообразной.

$\int_{1}^{2} (x^3 + x^{-3}) dx = F(2) - F(1) = \frac{31}{8} - (-\frac{1}{4}) = \frac{31}{8} + \frac{2}{8} = \frac{33}{8}$.

Ответ: $\frac{33}{8}$.

2)

Решение

Вычислим интеграл $\int_{4}^{9} (\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}) dx$.

1. Преобразуем подынтегральную функцию к степенному виду: $f(x) = x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-\frac{1}{2}}$.

2. Найдем первообразную $F(x)$, используя формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-\frac{1}{2}}) dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + 2 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 4x^{\frac{1}{2}}$.

3. Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$.

$F(9) = \frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}} + 4(9)^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}(\sqrt{9})^3 + 4\sqrt{9} = \frac{2}{3}(3)^3 + 4 \cdot 3 = \frac{2}{3} \cdot 27 + 12 = 18 + 12 = 30$.

$F(4) = \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}} + 4(4)^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 + 4\sqrt{4} = \frac{2}{3}(2)^3 + 4 \cdot 2 = \frac{2}{3} \cdot 8 + 8 = \frac{16}{3} + 8 = \frac{16+24}{3} = \frac{40}{3}$.

4. Вычислим значение интеграла.

$\int_{4}^{9} (\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}) dx = F(9) - F(4) = 30 - \frac{40}{3} = \frac{90 - 40}{3} = \frac{50}{3}$.

Ответ: $\frac{50}{3}$.

3)

Решение

Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} (5 - 3x^{-2} - 3x^2) dx$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = 5 - 3x^{-2} - 3x^2$.

$F(x) = \int (5 - 3x^{-2} - 3x^2) dx = 5x - 3 \frac{x^{-2+1}}{-2+1} - 3 \frac{x^{2+1}}{2+1} = 5x - 3 \frac{x^{-1}}{-1} - 3 \frac{x^3}{3} = 5x + 3x^{-1} - x^3 = 5x + \frac{3}{x} - x^3$.

2. Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$.

$F(-1) = 5(-1) + \frac{3}{-1} - (-1)^3 = -5 - 3 - (-1) = -8 + 1 = -7$.

$F(-2) = 5(-2) + \frac{3}{-2} - (-2)^3 = -10 - \frac{3}{2} - (-8) = -10 - 1.5 + 8 = -2 - 1.5 = -3.5 = -\frac{7}{2}$.

3. Вычислим значение интеграла.

$\int_{-2}^{-1} (5 - 3x^{-2} - 3x^2) dx = F(-1) - F(-2) = -7 - (-\frac{7}{2}) = -7 + \frac{7}{2} = -\frac{14}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{7}{2}$.

Ответ: $-\frac{7}{2}$.

4)

Решение

Вычислим интеграл $\int_{8}^{27} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{-\frac{2}{3}}) dx$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = x^{\frac{2}{3}} + 3x^{-\frac{2}{3}}$.

$F(x) = \int (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{-\frac{2}{3}}) dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + 3 \frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + 3 \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + 9x^{\frac{1}{3}}$.

2. Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$.

$F(27) = \frac{3}{5}(27)^{\frac{5}{3}} + 9(27)^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5}(\sqrt[3]{27})^5 + 9\sqrt[3]{27} = \frac{3}{5}(3)^5 + 9(3) = \frac{3}{5} \cdot 243 + 27 = \frac{729}{5} + \frac{135}{5} = \frac{864}{5}$.

$F(8) = \frac{3}{5}(8)^{\frac{5}{3}} + 9(8)^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5}(\sqrt[3]{8})^5 + 9\sqrt[3]{8} = \frac{3}{5}(2)^5 + 9(2) = \frac{3}{5} \cdot 32 + 18 = \frac{96}{5} + \frac{90}{5} = \frac{186}{5}$.

3. Вычислим значение интеграла.

$\int_{8}^{27} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{-\frac{2}{3}}) dx = F(27) - F(8) = \frac{864}{5} - \frac{186}{5} = \frac{678}{5}$.

Ответ: $\frac{678}{5}$.