Номер 296, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

296. Найдите величины $M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X)$, $M(2X + 5)$, $D(2X + 5)$,

если закон распределения случайной величины задан таблицей:

X 2 3 4 5

p 0,3 0,1 0,5 0,1

Дано:

Закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей:

Найти:

$M(X), D(X), \sigma(X), M(2X + 5), D(2X + 5)$

Решение:

M(X)

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Подставляем значения из таблицы:

$M(X) = 2 \cdot 0,3 + 3 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,5 + 5 \cdot 0,1$

$M(X) = 0,6 + 0,3 + 2,0 + 0,5 = 3,4$

Ответ: $M(X) = 3,4$

D(X)

Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

$M(X^2) = 2^2 \cdot 0,3 + 3^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,5 + 5^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 4 \cdot 0,3 + 9 \cdot 0,1 + 16 \cdot 0,5 + 25 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 1,2 + 0,9 + 8,0 + 2,5 = 12,6$

Теперь вычислим дисперсию:

$D(X) = 12,6 - (3,4)^2 = 12,6 - 11,56 = 1,04$

Ответ: $D(X) = 1,04$

σ(X)

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

$\sigma(X) = \sqrt{1,04}$

Ответ: $\sigma(X) = \sqrt{1,04}$

M(2X + 5)

Для нахождения математического ожидания линейного преобразования случайной величины $Y = aX + b$ используется свойство математического ожидания: $M(aX + b) = aM(X) + b$.

В нашем случае $a=2$ и $b=5$.

$M(2X + 5) = 2 \cdot M(X) + 5$

Мы уже вычислили $M(X) = 3,4$.

$M(2X + 5) = 2 \cdot 3,4 + 5 = 6,8 + 5 = 11,8$

Ответ: $M(2X + 5) = 11,8$

D(2X + 5)

Для нахождения дисперсии линейного преобразования случайной величины $Y = aX + b$ используется свойство дисперсии: $D(aX + b) = a^2D(X)$.

В нашем случае $a=2$ и $b=5$.

$D(2X + 5) = 2^2 \cdot D(X)$

Мы уже вычислили $D(X) = 1,04$.

$D(2X + 5) = 4 \cdot 1,04 = 4,16$

Ответ: $D(2X + 5) = 4,16$