Номер 294, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

294. Законы распределения случайных величин X и Y заданы таблицами:

X: 3, 21, 30

p: 0,25, ?, 0,45

Y: 24, 26, 28

p: 0,25, 0,25, ?

Вычислите следующие величины:

$M(X)$, $M(Y)$; $M(X - M(X))$, $M(Y - M(Y))$, $D(X)$, $D(Y)$.

Дано:

Закон распределения случайной величины X:

Закон распределения случайной величины Y:

Найти:

$M(X), M(Y), M(X - M(X)), M(Y - M(Y)), D(X), D(Y)$

Решение:

1. В первую очередь найдем недостающие вероятности в законах распределения. Для любого дискретного распределения сумма всех вероятностей равна единице: $\sum p_i = 1$.

Для случайной величины X обозначим неизвестную вероятность как $p_X$.

$0,25 + p_X + 0,45 = 1$

$p_X = 1 - 0,25 - 0,45 = 0,3$

Для случайной величины Y обозначим неизвестную вероятность как $p_Y$.

$0,25 + 0,25 + p_Y = 1$

$p_Y = 1 - 0,25 - 0,25 = 0,5$

Таким образом, полные законы распределения выглядят так:

Для X:

Для Y:

2. Теперь можем вычислить требуемые величины.

M(X)

Математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$.

$M(X) = 3 \cdot 0,25 + 21 \cdot 0,30 + 30 \cdot 0,45 = 0,75 + 6,3 + 13,5 = 20,55$

Ответ: $M(X) = 20,55$.

M(Y)

Аналогично вычисляем математическое ожидание для Y: $M(Y) = \sum y_i p_i$.

$M(Y) = 24 \cdot 0,25 + 26 \cdot 0,25 + 28 \cdot 0,50 = 6 + 6,5 + 14 = 26,5$

Ответ: $M(Y) = 26,5$.

M(X - M(X))

Это математическое ожидание центрированной случайной величины. Согласно свойствам математического ожидания, $M(X-C) = M(X) - C$, где $C$ - константа. В нашем случае константой является $M(X)$.

$M(X - M(X)) = M(X) - M(X) = 0$

Ответ: $M(X - M(X)) = 0$.

M(Y - M(Y))

Аналогично для случайной величины Y:

$M(Y - M(Y)) = M(Y) - M(Y) = 0$

Ответ: $M(Y - M(Y)) = 0$.

D(X)

Дисперсия $D(X)$ вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Сначала найдем $M(X^2)$.

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 3^2 \cdot 0,25 + 21^2 \cdot 0,30 + 30^2 \cdot 0,45$

$M(X^2) = 9 \cdot 0,25 + 441 \cdot 0,30 + 900 \cdot 0,45 = 2,25 + 132,3 + 405 = 539,55$

Теперь вычисляем дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 539,55 - (20,55)^2 = 539,55 - 422,3025 = 117,2475$

Ответ: $D(X) = 117,2475$.

D(Y)

Аналогично вычисляем дисперсию для Y: $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$.

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 24^2 \cdot 0,25 + 26^2 \cdot 0,25 + 28^2 \cdot 0,50$

$M(Y^2) = 576 \cdot 0,25 + 676 \cdot 0,25 + 784 \cdot 0,50 = 144 + 169 + 392 = 705$

Теперь вычисляем дисперсию:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 705 - (26,5)^2 = 705 - 702,25 = 2,75$

Ответ: $D(Y) = 2,75$.