Номер 289, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

289. Вычислите $D(X)$, используя закон распределения случайной величины $Y$:

1)

Y -2 -1 1 2 3

p 0,3 0,1 0,2 0,1 0,3

2)

Y -2 -1 1 2

p 0,1 0,2 0,5 0,2

1)

Дано:

Закон распределения случайной величины Y:

Значения $y_i$: -2, -1, 1, 2, 3.

Соответствующие вероятности $p_i$: 0,3; 0,1; 0,2; 0,1; 0,3.

Найти:

$D(X)$

Решение:

В условии задачи требуется найти дисперсию $D(X)$, используя закон распределения случайной величины $Y$. Так как связь между $X$ и $Y$ не указана, будем считать, что в условии опечатка и $X = Y$. Следовательно, мы будем вычислять дисперсию $D(Y)$.

Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле: $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$, где $M(Y)$ — математическое ожидание, а $M(Y^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины.

Сначала найдем математическое ожидание $M(Y)$, которое представляет собой сумму произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

$M(Y) = \sum y_i p_i = (-2) \cdot 0,3 + (-1) \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,3$

$M(Y) = -0,6 - 0,1 + 0,2 + 0,2 + 0,9 = 0,6$

Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(Y^2)$. Для этого каждое значение величины возводится в квадрат и умножается на соответствующую вероятность, после чего результаты складываются:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = (-2)^2 \cdot 0,3 + (-1)^2 \cdot 0,1 + 1^2 \cdot 0,2 + 2^2 \cdot 0,1 + 3^2 \cdot 0,3$

$M(Y^2) = 4 \cdot 0,3 + 1 \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 4 \cdot 0,1 + 9 \cdot 0,3$

$M(Y^2) = 1,2 + 0,1 + 0,2 + 0,4 + 2,7 = 4,6$

Теперь, имея $M(Y)$ и $M(Y^2)$, вычислим дисперсию $D(Y)$:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 4,6 - (0,6)^2 = 4,6 - 0,36 = 4,24$

Так как мы предположили, что $X=Y$, то $D(X) = D(Y)$.

Ответ: $4,24$.

2)

Дано:

Закон распределения случайной величины Y:

Значения $y_i$: -2, -1, 1, 2.

Соответствующие вероятности $p_i$: 0,1; 0,2; 0,5; 0,2.

Найти:

$D(X)$

Решение:

Аналогично пункту 1), будем считать, что $X = Y$ из-за отсутствия информации о связи между этими величинами. Вычислим дисперсию $D(Y)$ по формуле $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$.

Найдем математическое ожидание $M(Y)$:

$M(Y) = \sum y_i p_i = (-2) \cdot 0,1 + (-1) \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,5 + 2 \cdot 0,2$

$M(Y) = -0,2 - 0,2 + 0,5 + 0,4 = 0,5$

Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = (-2)^2 \cdot 0,1 + (-1)^2 \cdot 0,2 + 1^2 \cdot 0,5 + 2^2 \cdot 0,2$

$M(Y^2) = 4 \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,5 + 4 \cdot 0,2$

$M(Y^2) = 0,4 + 0,2 + 0,5 + 0,8 = 1,9$

Вычислим дисперсию $D(Y)$:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 1,9 - (0,5)^2 = 1,9 - 0,25 = 1,65$

Так как мы предположили, что $X=Y$, то $D(X) = D(Y)$.

Ответ: $1,65$.