Номер 292, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

292. Вычислите $M(X+Y)$, $D(X+Y)$, если случайные величины X и Y распределены по следующему закону:

X: 6, 10, 14, 20

p: $\frac{1}{4}$, 0,2, 0,3, $\frac{1}{4}$

Y: 3, 8, 11, 16

p: 0,2, 0,3, 0,3, 0,2

Дано:

Закон распределения случайной величины X:

Закон распределения случайной величины Y:

Найти:

$M(X+Y)$, $D(X+Y)$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии.

1. Вычисление математического ожидания $M(X+Y)$

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

$M(X+Y) = M(X) + M(Y)$

Вычислим математические ожидания $M(X)$ и $M(Y)$ по формуле $M(Z) = \sum z_i p_i$.

Для случайной величины X (предварительно переведем дроби в десятичный вид: $1/4 = 0,25$):

$M(X) = 6 \cdot 0,25 + 10 \cdot 0,2 + 14 \cdot 0,3 + 20 \cdot 0,25 = 1,5 + 2 + 4,2 + 5 = 12,7$

Для случайной величины Y:

$M(Y) = 3 \cdot 0,2 + 8 \cdot 0,3 + 11 \cdot 0,3 + 16 \cdot 0,2 = 0,6 + 2,4 + 3,3 + 3,2 = 9,5$

Следовательно, искомое математическое ожидание суммы:

$M(X+Y) = M(X) + M(Y) = 12,7 + 9,5 = 22,2$

2. Вычисление дисперсии $D(X+Y)$

Поскольку в условии не указано, зависимы ли случайные величины, но их законы распределения даны раздельно, мы предполагаем, что они независимы. Для независимых случайных величин дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:

$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$

Вычислим дисперсии $D(X)$ и $D(Y)$ по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

Сначала найдем $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 6^2 \cdot 0,25 + 10^2 \cdot 0,2 + 14^2 \cdot 0,3 + 20^2 \cdot 0,25$

$M(X^2) = 36 \cdot 0,25 + 100 \cdot 0,2 + 196 \cdot 0,3 + 400 \cdot 0,25 = 9 + 20 + 58,8 + 100 = 187,8$

Теперь вычислим $D(X)$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 187,8 - (12,7)^2 = 187,8 - 161,29 = 26,51$

Аналогично для Y, найдем $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 3^2 \cdot 0,2 + 8^2 \cdot 0,3 + 11^2 \cdot 0,3 + 16^2 \cdot 0,2$

$M(Y^2) = 9 \cdot 0,2 + 64 \cdot 0,3 + 121 \cdot 0,3 + 256 \cdot 0,2 = 1,8 + 19,2 + 36,3 + 51,2 = 108,5$

Теперь вычислим $D(Y)$:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 108,5 - (9,5)^2 = 108,5 - 90,25 = 18,25$

Наконец, найдем искомую дисперсию суммы:

$D(X+Y) = D(X) + D(Y) = 26,51 + 18,25 = 44,76$

Ответ: $M(X+Y) = 22,2$; $D(X+Y) = 44,76$.