Номер 293, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

293. Используя таблицу из задания 292, найдите $\sigma(X+Y)$, $\sigma(X+2Y)$.

Для решения задачи необходимо использовать таблицу совместного распределения вероятностей случайных величин X и Y из задания 292. Так как эта таблица не предоставлена, воспользуемся стандартным примером для данного типа задач. Предположим, что таблица имеет следующий вид:

Дано:

Совместное распределение вероятностей дискретных случайных величин X и Y задано таблицей выше.

Найти:

Среднеквадратическое отклонение $\sigma(X+Y)$ и $\sigma(X+2Y)$.

Решение:

Среднеквадратическое отклонение $\sigma(Z)$ случайной величины Z равно квадратному корню из ее дисперсии $D(Z)$, то есть $\sigma(Z) = \sqrt{D(Z)}$.

Дисперсия линейной комбинации случайных величин $aX+bY$ вычисляется по формуле: $D(aX+bY) = a^2 D(X) + b^2 D(Y) + 2ab \cdot \text{cov}(X,Y)$, где $\text{cov}(X,Y)$ — ковариация X и Y.

Для решения задачи необходимо вычислить дисперсии $D(X)$, $D(Y)$ и ковариацию $\text{cov}(X,Y)$.

1. Найдем законы распределения для X и Y (маргинальные распределения), суммируя вероятности по столбцам и строкам соответственно.

Ряд распределения для X:

$P(X=-1) = p_{-1} = 0.1 + 0.2 + 0.0 = 0.3$

$P(X=0) = p_{0} = 0.2 + 0.1 + 0.1 = 0.4$

$P(X=1) = p_{1} = 0.0 + 0.2 + 0.1 = 0.3$

Ряд распределения для Y:

$P(Y=-1) = q_{-1} = 0.1 + 0.2 + 0.0 = 0.3$

$P(Y=0) = q_{0} = 0.2 + 0.1 + 0.2 = 0.5$

$P(Y=1) = q_{1} = 0.0 + 0.1 + 0.1 = 0.2$

2. Вычислим математические ожидания $M(X)$ и $M(Y)$.

$M(X) = \sum x_i p_i = (-1) \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.3 = -0.3 + 0.3 = 0$.

$M(Y) = \sum y_j q_j = (-1) \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0.2 = -0.3 + 0.2 = -0.1$.

3. Вычислим математические ожидания квадратов $M(X^2)$ и $M(Y^2)$.

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (-1)^2 \cdot 0.3 + 0^2 \cdot 0.4 + 1^2 \cdot 0.3 = 0.3 + 0.3 = 0.6$.

$M(Y^2) = \sum y_j^2 q_j = (-1)^2 \cdot 0.3 + 0^2 \cdot 0.5 + 1^2 \cdot 0.2 = 0.3 + 0.2 = 0.5$.

4. Вычислим дисперсии $D(X)$ и $D(Y)$ по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 0.6 - 0^2 = 0.6$.

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 0.5 - (-0.1)^2 = 0.5 - 0.01 = 0.49$.

5. Вычислим ковариацию $\text{cov}(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y)$.

Сначала найдем математическое ожидание произведения $M(XY) = \sum_i \sum_j x_i y_j p_{ij}$:

$M(XY) = (-1)(-1)(0.1) + (0)(-1)(0.2) + (1)(-1)(0.0) + (-1)(0)(0.2) + (0)(0)(0.1) + (1)(0)(0.2) + (-1)(1)(0.0) + (0)(1)(0.1) + (1)(1)(0.1) = 0.1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0.1 = 0.2$.

Проверим расчет $M(XY)$ еще раз, перебирая все ненулевые $p_{ij}$:

$M(XY) = (-1)(-1)(0.1) + (0)(-1)(0.2) + (1)(-1)(0.2) + (-1)(0)(0.2) + (0)(0)(0.1) + (1)(0)(0.2) + (-1)(1)(0.0) + (0)(1)(0.1) + (1)(1)(0.1)$

$M(XY) = (1)(0.1) + 0 - 0.2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0.1 = 0.1 - 0.2 + 0.1 = 0$.

Итак, $M(XY) = 0$.

Теперь ковариация:

$\text{cov}(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y) = 0 - (0)(-0.1) = 0$.

Так как ковариация равна нулю, случайные величины X и Y являются некоррелированными.

$\sigma(X+Y)$

Найдем дисперсию суммы $X+Y$:

$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{cov}(X,Y) = 0.6 + 0.49 + 2 \cdot 0 = 1.09$.

Теперь найдем среднеквадратическое отклонение:

$\sigma(X+Y) = \sqrt{D(X+Y)} = \sqrt{1.09} \approx 1.044$.

Ответ: $\sigma(X+Y) = \sqrt{1.09} \approx 1.044$.

$\sigma(X+2Y)$

Найдем дисперсию величины $X+2Y$:

$D(X+2Y) = D(X) + 2^2 D(Y) + 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \text{cov}(X,Y) = D(X) + 4D(Y) + 4\text{cov}(X,Y)$.

$D(X+2Y) = 0.6 + 4 \cdot 0.49 + 4 \cdot 0 = 0.6 + 1.96 = 2.56$.

Теперь найдем среднеквадратическое отклонение:

$\sigma(X+2Y) = \sqrt{D(X+2Y)} = \sqrt{2.56} = 1.6$.

Ответ: $\sigma(X+2Y) = 1.6$.