Номер 283, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

283. Два стрелка целятся по мишеням. Вероятность попадания их в мишень соответственно равна 0,9 и 0,8. Стрелки по очереди производят по одному выстрелу. Случайная величина $X$ — это число попаданий в цель. Напишите закон распределения этой случайной величины.

Дано:

Вероятность попадания первого стрелка: $p_1 = 0.9$.

Вероятность попадания второго стрелка: $p_2 = 0.8$.

Случайная величина X — число попаданий в цель.

Найти:

Закон распределения случайной величины X.

Решение:

Случайная величина X, представляющая собой общее число попаданий в цель при двух выстрелах, может принимать три возможных значения: 0 (оба стрелка промахнулись), 1 (один попал, другой промахнулся) или 2 (оба попали).

Определим вероятности для каждого из этих значений.

Пусть событие $A_1$ — попадание первого стрелка, а событие $A_2$ — попадание второго стрелка. По условию, их вероятности равны:

$P(A_1) = p_1 = 0.9$

$P(A_2) = p_2 = 0.8$

Тогда вероятности промахов для каждого стрелка (события $\bar{A_1}$ и $\bar{A_2}$) будут равны:

$P(\bar{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - 0.9 = 0.1$

$P(\bar{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0.8 = 0.2$

Поскольку выстрелы стрелков являются независимыми событиями, мы можем рассчитать вероятности для каждого значения X.

1. Вероятность того, что попаданий не будет (X=0). Это означает, что оба стрелка промахнулись. Вероятность этого события равна произведению вероятностей промахов каждого стрелка:

$P(X=0) = P(\bar{A_1}) \cdot P(\bar{A_2}) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02$

2. Вероятность того, что будет ровно одно попадание (X=1). Это событие может произойти в двух несовместных случаях:
а) Первый стрелок попал, а второй промахнулся.
б) Первый стрелок промахнулся, а второй попал.
Вероятность искомого события равна сумме вероятностей этих двух случаев.

Вероятность случая (а): $P(A_1 \cap \bar{A_2}) = P(A_1) \cdot P(\bar{A_2}) = 0.9 \cdot 0.2 = 0.18$

Вероятность случая (б): $P(\bar{A_1} \cap A_2) = P(\bar{A_1}) \cdot P(A_2) = 0.1 \cdot 0.8 = 0.08$

Суммарная вероятность для X=1:

$P(X=1) = P(A_1 \cap \bar{A_2}) + P(\bar{A_1} \cap A_2) = 0.18 + 0.08 = 0.26$

3. Вероятность того, что будет два попадания (X=2). Это означает, что оба стрелка попали в цель. Вероятность этого события равна произведению вероятностей попаданий каждого стрелка:

$P(X=2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = 0.9 \cdot 0.8 = 0.72$

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.02 + 0.26 + 0.72 = 1.00$

Таким образом, закон распределения случайной величины X можно представить в виде таблицы.

Ответ:

Закон распределения случайной величины X (числа попаданий) имеет следующий вид: