Номер 279, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

279. Стрелок производит три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле составляет 0,9. Составьте закон распределения числа попаданий.

Дано:

Количество независимых выстрелов (испытаний): $n = 3$.

Вероятность попадания при каждом выстреле (вероятность «успеха»): $p = 0.9$.

Найти:

Составить закон распределения для случайной величины $X$ — числа попаданий.

Решение:

Пусть $X$ — это случайная величина, которая представляет собой число попаданий в мишень. Поскольку производится 3 выстрела, $X$ может принимать значения 0, 1, 2 или 3.

Данная задача описывается схемой Бернулли, так как проводятся независимые испытания с двумя возможными исходами (попадание или промах) и постоянной вероятностью «успеха» в каждом испытании.

Вероятность попадания (успеха) в одном выстреле: $p = 0.9$.

Следовательно, вероятность промаха (неудачи): $q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$.

Вероятность того, что событие произойдет ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний).

Рассчитаем вероятности для каждого возможного значения $X$ при $n=3$.

1. Вероятность 0 попаданий ($k=0$)

Это означает 3 промаха из 3 выстрелов.

$P(X=0) = C_3^0 \cdot (0.9)^0 \cdot (0.1)^{3} = 1 \cdot 1 \cdot 0.001 = 0.001$

2. Вероятность 1 попадания ($k=1$)

Это означает 1 попадание и 2 промаха.

$P(X=1) = C_3^1 \cdot (0.9)^1 \cdot (0.1)^{2} = 3 \cdot 0.9 \cdot 0.01 = 0.027$

3. Вероятность 2 попаданий ($k=2$)

Это означает 2 попадания и 1 промах.

$P(X=2) = C_3^2 \cdot (0.9)^2 \cdot (0.1)^{1} = 3 \cdot 0.81 \cdot 0.1 = 0.243$

4. Вероятность 3 попаданий ($k=3$)

Это означает 3 попадания из 3 выстрелов.

$P(X=3) = C_3^3 \cdot (0.9)^3 \cdot (0.1)^{0} = 1 \cdot 0.729 \cdot 1 = 0.729$

Проведем проверку: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

$0.001 + 0.027 + 0.243 + 0.729 = 1.000$

Расчеты верны. Теперь можно представить закон распределения в виде таблицы.

Ответ:

Закон распределения случайной величины $X$ (числа попаданий) представлен в следующей таблице: