Номер 275, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

275. В урне имеются 21 белый, 19 красных, 20 зеленых шаров. Наугад извлекаются 3 шара. Найдите вероятность того, что шары будут разноцветными.

Дано:

Количество белых шаров: $n_б = 21$

Количество красных шаров: $n_к = 19$

Количество зеленых шаров: $n_з = 20$

Количество извлекаемых шаров: $k = 3$

Найти:

Вероятность $P(A)$ того, что все 3 извлеченных шара будут разноцветными.

Решение:

1. Сначала определим общее количество шаров в урне:

$N = n_б + n_к + n_з = 21 + 19 + 20 = 60$ шаров.

2. Затем вычислим общее число элементарных исходов, то есть количество способов выбрать 3 шара из 60. Поскольку порядок выбора шаров не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний:

$n = C_N^k = C_{60}^3 = \frac{60!}{3!(60-3)!} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 59 \cdot 58 = 34220$.

Таким образом, существует 34220 способов извлечь 3 шара из 60.

3. Теперь найдем число благоприятных исходов. Благоприятный исход — это извлечение трех разноцветных шаров, то есть одного белого, одного красного и одного зеленого.

Число способов выбрать 1 белый шар из 21: $C_{21}^1 = 21$.

Число способов выбрать 1 красный шар из 19: $C_{19}^1 = 19$.

Число способов выбрать 1 зеленый шар из 20: $C_{20}^1 = 20$.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов равно произведению этих способов:

$m = C_{21}^1 \cdot C_{19}^1 \cdot C_{20}^1 = 21 \cdot 19 \cdot 20 = 7980$.

Итак, существует 7980 способов извлечь 3 разноцветных шара.

4. Вероятность события $A$ (извлечение трех разноцветных шаров) находится по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{7980}{34220}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 10, а затем на 2:

$P(A) = \frac{798}{3422} = \frac{399}{1711}$.

Чтобы проверить, можно ли сократить дробь дальше, разложим числитель и знаменатель на простые множители:

$399 = 21 \cdot 19 = 3 \cdot 7 \cdot 19$

$1711 = 29 \cdot 59$

Поскольку у числителя и знаменателя нет общих простых множителей, дробь $\frac{399}{1711}$ является несократимой.

Ответ: Вероятность того, что шары будут разноцветными, равна $\frac{399}{1711}$.