Проверь себя, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Решите уравнение $\left(\frac{7}{11}\right)^{4x-5} = \left(\frac{11}{7}\right)^{5x-4}$:

A. 1;

B. 0;

C. -1;

D. Не имеет корней.

2. Найдите наибольшее натуральное решение неравенства $0,37^{x-9} > 0,37$:

A. 10;

B. 8;

C. 9;

D. Такое число не существует.

3. Решите уравнение $10^{\cos x} - \sqrt{10} = 0$:

A. $(-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z; $

B. $(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z; $

C. $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z; $

D. $\pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z.$

4. Найдите корни уравнения $\log_5 (x-7) + \log_5 (x-2) = \log_5 (x+5)$:

A. 9;

B. 1;

C. 1;

D. 7.

5. При каких значениях x функция $y = \log_2 (x-5)$ принимает положительные значения:

A. $(5; +\infty);$

B. $[5; +\infty);$

C. $(6; +\infty);$

D. $[6; +\infty)?$

6. Решите систему неравенств $\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0, \\ \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} < 5: \end{cases}$

A. $[-2; 2];$

B. $(-\infty; -2];$

C. $[2; +\infty);$

D. $(0; +\infty).$

7. Решите систему уравнений $\begin{cases} \log_5 (x+y)=1, \\ 2x+y=7: \end{cases}$

A. $(3; 2);$

B. $(2; 3);$

C. $(-2; -3);$

D. $(3; 1).$

8. Найдите общее решение неравенств $5^{x^2} \ge 5^{10x-21}$ и $5 - x > 0: $

A. $[3; 7];$

B. $(-\infty; 3];$

C. $(5; 7];$

D. $[3; 5)\cup(5; 7].$

9. Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенство $\log_{\frac{1}{7}} (2x-1) \ge 0: $

A. 1;

B. 0;

C. 2;

D. Такое число не существует.

10. Решите систему неравенств $\begin{cases} \log_6 x \ge 0, \\ 0,19x^2 > 0,19x: \end{cases}$

A. $(0; 1);$

B. $(0; 1];$

C. $(0; +\infty);$

D. Нет решения.

1. Решите уравнение $(\frac{7}{11})^{4x-5} = (\frac{11}{7})^{5x-4}$

Решение:

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $\frac{11}{7} = (\frac{7}{11})^{-1}$.

$(\frac{7}{11})^{4x-5} = ((\frac{7}{11})^{-1})^{5x-4}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(\frac{7}{11})^{4x-5} = (\frac{7}{11})^{-1 \cdot (5x-4)}$

$(\frac{7}{11})^{4x-5} = (\frac{7}{11})^{-5x+4}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$4x - 5 = -5x + 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$4x + 5x = 4 + 5$

$9x = 9$

$x = \frac{9}{9}$

$x = 1$

Ответ: A. 1

2. Найдите наибольшее натуральное решение неравенства $0,37^{x-9} > 0,37$

Решение:

Запишем правую часть неравенства в виде степени с основанием 0,37:

$0,37^{x-9} > 0,37^1$

Так как основание степени $a = 0,37$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x - 9 < 1$

$x < 1 + 9$

$x < 10$

Нам нужно найти наибольшее натуральное (целое положительное) число, удовлетворяющее этому неравенству. Натуральные числа, меньшие 10, это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Наибольшее из них - 9.

Ответ: C. 9

3. Решите уравнение $10^{\cos x} - \sqrt{10} = 0$

Решение:

Перенесем $\sqrt{10}$ в правую часть уравнения:

$10^{\cos x} = \sqrt{10}$

Представим $\sqrt{10}$ как степень с основанием 10: $\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$.

$10^{\cos x} = 10^{\frac{1}{2}}$

Приравниваем показатели степеней:

$\cos x = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение имеет вид:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: C. $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

4. Найдите корни уравнения $\log_5(x-7) + \log_5(x-2) = \log_5(x+5)$

Решение:

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x-7 > 0 \\ x-2 > 0 \\ x+5 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 7 \\ x > 2 \\ x > -5 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 7$.

Теперь решим уравнение. Используем свойство суммы логарифмов $\log_b A + \log_b B = \log_b(AB)$:

$\log_5((x-7)(x-2)) = \log_5(x+5)$

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$(x-7)(x-2) = x+5$

$x^2 - 2x - 7x + 14 = x+5$

$x^2 - 9x + 14 = x+5$

$x^2 - 10x + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 9$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 7$):

$x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 > 7$, следовательно, это посторонний корень.

$x_2 = 9$ удовлетворяет условию $9 > 7$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x=9$.

Ответ: A. 9

5. При каких значениях x функция $y = \log_2(x-5)$ принимает положительные значения?

Решение:

Нам нужно решить неравенство $y > 0$, то есть $\log_2(x-5) > 0$.

Сначала найдем ОДЗ: $x-5 > 0 \implies x > 5$.

Представим 0 в виде логарифма по основанию 2: $0 = \log_2 1$.

$\log_2(x-5) > \log_2 1$

Так как основание логарифма $a = 2 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x-5 > 1$

$x > 6$

Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x>5$), получаем итоговый результат $x>6$.

Интервал: $(6; +\infty)$.

Ответ: C. (6; +∞)

6. Решите систему неравенств $\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ (\frac{1}{5})^{x+1} < 5 \end{cases}$

Решение:

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $x^2 - 4 \ge 0$

$(x-2)(x+2) \ge 0$

Корни уравнения $x^2-4=0$ равны $x_1 = -2, x_2 = 2$. Парабола $y=x^2-4$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 2$. Решение: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

2) $(\frac{1}{5})^{x+1} < 5$

Приведем к основанию 5: $(5^{-1})^{x+1} < 5^1 \implies 5^{-x-1} < 5^1$.

Так как основание $5 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$-x-1 < 1$

$-x < 2$

$x > -2$

Решение: $x \in (-2; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$ и $(-2; +\infty)$.

Пересечение этих множеств - это интервал, где $x$ одновременно больше -2 и принадлежит первому множеству. Этому условию удовлетворяет промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: C. [2; +∞)

7. Решите систему уравнений $\begin{cases} \log_5(x+y) = 1 \\ 2x+y = 7 \end{cases}$

Решение:

Из первого уравнения по определению логарифма следует:

$x+y = 5^1$

$x+y = 5$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x+y = 5 \\ 2x+y = 7 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(2x+y) - (x+y) = 7 - 5$

$x = 2$

Подставим значение $x=2$ в первое уравнение $x+y=5$:

$2+y=5$

$y=3$

Решение системы - пара чисел (2; 3). Проверим ОДЗ логарифма: $x+y = 2+3=5 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: B. (2; 3)

8. Найдите общее решение неравенств $5^{x^2} \ge 5^{10x-21}$ и $5-x>0$

Решение:

Требуется решить систему неравенств: $\begin{cases} 5^{x^2} \ge 5^{10x-21} \\ 5-x > 0 \end{cases}$

1) $5^{x^2} \ge 5^{10x-21}$

Основание $5 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x^2 \ge 10x-21$

$x^2 - 10x + 21 \ge 0$

Корни уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$ по теореме Виета равны 3 и 7. Парабола ветвями вверх, значит, решение: $x \in (-\infty; 3] \cup [7; +\infty)$.

2) $5-x > 0$

$5 > x$ или $x < 5$. Решение: $x \in (-\infty; 5)$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty; 3] \cup [7; +\infty)$ и $(-\infty; 5)$.

Пересекая $(-\infty; 3]$ с $(-\infty; 5)$, получаем $(-\infty; 3]$.

Пересекая $[7; +\infty)$ с $(-\infty; 5)$, получаем пустое множество.

Общее решение - это $(-\infty; 3]$.

Ответ: B. (-∞; 3]

9. Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенство $\log_{\frac{1}{7}}(2x-1) \ge 0$

Решение:

Найдем ОДЗ: $2x-1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}$.

Решим неравенство. Представим 0 как логарифм по основанию $\frac{1}{7}$: $0 = \log_{\frac{1}{7}} 1$.

$\log_{\frac{1}{7}}(2x-1) \ge \log_{\frac{1}{7}} 1$

Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$2x-1 \le 1$

$2x \le 2$

$x \le 1$

Объединим с ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$ и $x \le 1$. Получаем интервал $(\frac{1}{2}; 1]$.

Наименьшее целое число в этом интервале - это 1.

Ответ: A. 1

10. Решите систему неравенств $\begin{cases} \log_6 x > 0 \\ 0,19^{x^2} > 0,19^x \end{cases}$

Решение:

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $\log_6 x > 0$

ОДЗ: $x>0$.

$\log_6 x > \log_6 1$. Так как основание $6>1$, то $x>1$. Решение: $(1; +\infty)$.

2) $0,19^{x^2} > 0,19^x$

Основание $a = 0,19$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется:

$x^2 < x$

$x^2 - x < 0$

$x(x-1) < 0$

Корни уравнения $x(x-1)=0$ равны 0 и 1. Парабола ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями. Решение: $x \in (0; 1)$.

Теперь найдем пересечение решений: $(1; +\infty)$ и $(0; 1)$.

Эти два интервала не имеют общих точек. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: D. Нет решения